ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.36
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Для яких значень змінної дорівнює нулю значення дробу:
1) $\frac{(m-1)m}{m+2}$; 2) $\frac{x^2-2x}{8}$;
3) $\frac{(m+2)m}{m^2-4}$; 4) $\frac{x}{x^2+x}$?
Короткий розв'язок
1) Чисельник $(m-1)m=0 \implies m=1$ або $m=0$. ОДЗ: $m \neq -2$. Відповідь: $m=1, m=0$.
2) Чисельник $x^2-2x=0 \implies x(x-2)=0 \implies x=0$ або $x=2$. ОДЗ: $x$ - будь-яке. Відповідь: $x=0, x=2$.
3) Чисельник $(m+2)m=0 \implies m=-2$ або $m=0$. ОДЗ: $m \neq 2, m \neq -2$. $m=-2$ не входить в ОДЗ. Відповідь: $m=0$.
4) Чисельник $x=0$. ОДЗ: $x \neq 0, x \neq -1$. $x=0$ не входить в ОДЗ. Відповідь: немає таких значень.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Раціональний дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому не дорівнює нулю. Отже, ми спочатку знаходимо корені чисельника, а потім перевіряємо, чи не перетворюють ці корені знаменник на нуль.
1) $\frac{(m-1)m}{m+2}$
Прирівняємо чисельник до нуля: $(m-1)m = 0$. Це рівняння має два корені: $m-1=0 \implies m=1$ та $m=0$.
Перевіримо ОДЗ. Знаменник $m+2 \neq 0$, отже $m \neq -2$.
Обидва корені ($m=1$ і $m=0$) задовольняють умову ОДЗ. Отже, дріб дорівнює нулю при $m=1$ або $m=0$.
2) $\frac{x^2-2x}{8}$
Прирівняємо чисельник до нуля: $x^2-2x = 0 \implies x(x-2)=0$. Корені: $x=0$ та $x=2$.
Знаменник дорівнює 8, тому вираз має зміст для будь-яких $x$.
Отже, дріб дорівнює нулю при $x=0$ або $x=2$.
3) $\frac{(m+2)m}{m^2-4}$
Прирівняємо чисельник до нуля: $(m+2)m = 0$. Корені: $m=-2$ та $m=0$.
Перевіримо ОДЗ. Знаменник $m^2-4 \neq 0 \implies (m-2)(m+2) \neq 0$, отже $m \neq 2$ і $m \neq -2$.
Корінь $m=-2$ не входить до ОДЗ, оскільки при цьому значенні знаменник перетворюється на нуль. Корінь $m=0$ задовольняє ОДЗ.
Отже, дріб дорівнює нулю тільки при $m=0$.
4) $\frac{x}{x^2+x}$
Прирівняємо чисельник до нуля: $x=0$.
Перевіримо ОДЗ. Знаменник $x^2+x \neq 0 \implies x(x+1) \neq 0$, отже $x \neq 0$ і $x \neq -1$.
Корінь чисельника $x=0$ не входить до ОДЗ. Таким чином, не існує значень $x$, при яких чисельник дорівнює нулю, а знаменник — ні.
Отже, немає таких значень $x$, при яких дріб дорівнює нулю.
Коментарі