ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.30

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Подайте у вигляді раціонального дробу або цілого виразу:

1) $1 - \frac{x}{1-\frac{x}{x+1}}$; 2) $\frac{m}{m-\frac{1}{m-\frac{m}{1-m}}}$.

Короткий розв'язок

1) $1 - \frac{x}{\frac{x+1-x}{x+1}} = 1 - \frac{x}{\frac{1}{x+1}} = 1 - x(x+1) = 1 - x^2 - x$

2) $\frac{m}{m-\frac{1}{\frac{m(1-m)-m}{1-m}}} = \frac{m}{m-\frac{1-m}{-m^2}} = \frac{m}{m+\frac{1-m}{m^2}} = \frac{m}{\frac{m^3+1-m}{m^2}} = \frac{m^3}{m^3-m+1}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення таких "багатоповерхових" дробів, ми будемо послідовно виконувати дії, рухаючись від "найнижчого" поверху до "найвищого". Кожен крок включатиме зведення до спільного знаменника та заміну ділення на дріб множенням на обернений дріб.

1) $1 - \frac{x}{1-\frac{x}{x+1}}$

Спочатку спростимо знаменник основного дробу:

$$ 1-\frac{x}{x+1} = \frac{1 \cdot (x+1) - x}{x+1} = \frac{x+1-x}{x+1} = \frac{1}{x+1} $$

Тепер підставимо цей результат назад у вираз:

$$ 1 - \frac{x}{\frac{1}{x+1}} = 1 - x \cdot \frac{x+1}{1} = 1 - x(x+1) = $$

$$ = 1 - (x^2+x) = 1 - x^2 - x $$

2) $\frac{m}{m-\frac{1}{m-\frac{m}{1-m}}}$

Почнемо з найнижчого знаменника:

$$ m-\frac{m}{1-m} = \frac{m(1-m)-m}{1-m} = \frac{m-m^2-m}{1-m} = \frac{-m^2}{1-m} $$

Підставимо результат на наступний рівень. Вираз $1 / (\dots)$ перетворюється на обернений дріб:

$$ m-\frac{1}{\frac{-m^2}{1-m}} = m - \frac{1-m}{-m^2} = m + \frac{1-m}{m^2} = $$

$$ = \frac{m \cdot m^2 + 1-m}{m^2} = \frac{m^3-m+1}{m^2} $$