До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.33

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що число 89−4128^9 - 4^{12} ділиться на 7.

Короткий розв'язок

89−412=(23)9−(22)12=227−224=224(23−1)=224(8−1)=224⋅78^9 - 4^{12} = (2^3)^9 - (2^2)^{12} = 2^{27} - 2^{24} = 2^{24}(2^3 - 1) = 2^{24}(8-1) = 2^{24} \cdot 7.

Оскільки один із множників дорівнює 7, вираз ділиться на 7.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести подільність цього виразу, ми зведемо степені до спільної основи, а потім використаємо властивості степенів для винесення спільного множника за дужки. Це дозволить нам показати, що один з отриманих множників дорівнює 7.

Задано вираз 89−4128^9 - 4^{12}.

Першим кроком зведемо числа 8 та 4 до спільної основи 2:

8=23і4=22 8 = 2^3 \quad \text{і} \quad 4 = 2^2

Підставимо ці значення у вираз:

89−412=(23)9−(22)12= 8^9 - 4^{12} = (2^3)^9 - (2^2)^{12} =

За властивістю піднесення степеня до степеня (am)n=amn(a^m)^n = a^{mn}, перемножимо показники:

=23⋅9−22⋅12=227−224= = 2^{3 \cdot 9} - 2^{2 \cdot 12} = 2^{27} - 2^{24} =

Тепер винесемо за дужки спільний множник з найменшим показником, тобто 2242^{24}:

=224(227−24−1)=224(23−1)= = 2^{24}(2^{27-24} - 1) = 2^{24}(2^3 - 1) =

Обчислимо значення виразу в дужках:

=224(8−1)=224⋅7 = 2^{24}(8 - 1) = 2^{24} \cdot 7

Ми представили початковий вираз у вигляді добутку, де один із множників дорівнює 7. Отже, весь вираз ділиться на 7 без остачі.

Що і треба було довести.