ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.33

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що число $8^9 - 4^{12}$ ділиться на 7.

Короткий розв'язок

$8^9 - 4^{12} = (2^3)^9 - (2^2)^{12} = 2^{27} - 2^{24} = 2^{24}(2^3 - 1) = 2^{24}(8-1) = 2^{24} \cdot 7$.

Оскільки один із множників дорівнює 7, вираз ділиться на 7.

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести подільність цього виразу, ми зведемо степені до спільної основи, а потім використаємо властивості степенів для винесення спільного множника за дужки. Це дозволить нам показати, що один з отриманих множників дорівнює 7.

Задано вираз $8^9 - 4^{12}$.

Першим кроком зведемо числа 8 та 4 до спільної основи 2:

$$ 8 = 2^3 \quad \text{і} \quad 4 = 2^2 $$

Підставимо ці значення у вираз:

$$ 8^9 - 4^{12} = (2^3)^9 - (2^2)^{12} = $$

За властивістю піднесення степеня до степеня $(a^m)^n = a^{mn}$, перемножимо показники:

$$ = 2^{3 \cdot 9} - 2^{2 \cdot 12} = 2^{27} - 2^{24} = $$

Тепер винесемо за дужки спільний множник з найменшим показником, тобто $2^{24}$:

$$ = 2^{24}(2^{27-24} - 1) = 2^{24}(2^3 - 1) = $$

Обчислимо значення виразу в дужках:

$$ = 2^{24}(8 - 1) = 2^{24} \cdot 7 $$

Ми представили початковий вираз у вигляді добутку, де один із множників дорівнює 7. Отже, весь вираз ділиться на 7 без остачі.