ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.35
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Для яких значень змінної має зміст вираз:
1) $\frac{x-1}{7}$; 2) $\frac{7}{x-1}$; 3) $\frac{x+2}{x(x+3)}$;
4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5}$; 5) $\frac{x^2}{x^2-9}$; 6) $\frac{x-5}{x^2-4x}$?
Короткий розв'язок
1) $x$ - будь-яке число.
2) $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$.
3) $x \neq 0$ і $x+3 \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq -3$.
4) $x \neq 0$ і $x-5 \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 5$.
5) $x^2-9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq 3, x \neq -3$.
6) $x^2-4x \neq 0 \implies x(x-4) \neq 0 \implies x \neq 0, x \neq 4$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Раціональні вирази (дроби) мають зміст тільки тоді, коли їх знаменник не дорівнює нулю. Щоб знайти допустимі значення змінної, потрібно прирівняти знаменник до нуля і виключити знайдені значення.
1) $\frac{x-1}{7}$
Знаменник дробу дорівнює 7, що ніколи не дорівнює нулю. Отже, вираз має зміст для будь-яких значень $x$.
2) $\frac{7}{x-1}$
Знаменник не може дорівнювати нулю: $x-1 \neq 0$. Звідси $x \neq 1$.
3) $\frac{x+2}{x(x+3)}$
Знаменник $x(x+3)$ дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю. Отже, $x \neq 0$ і $x+3 \neq 0$, тобто $x \neq -3$.
4) $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-5}$
Цей вираз є сумою двох дробів. Він має зміст, коли знаменник кожного з дробів не дорівнює нулю. Отже, $x \neq 0$ і $x-5 \neq 0$, тобто $x \neq 5$.
5) $\frac{x^2}{x^2-9}$
Знаменник не дорівнює нулю: $x^2-9 \neq 0$. Розкладемо на множники: $(x-3)(x+3) \neq 0$. Звідси $x-3 \neq 0$ і $x+3 \neq 0$, тобто $x \neq 3$ і $x \neq -3$.
6) $\frac{x-5}{x^2-4x}$
Знаменник не дорівнює нулю: $x^2-4x \neq 0$. Винесемо $x$ за дужки: $x(x-4) \neq 0$. Звідси $x \neq 0$ і $x-4 \neq 0$, тобто $x \neq 4$.
