ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.29
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Доведіть, що значення виразу
$\left(\frac{m^2-3m}{m^3+3m^2+3m+1} + \frac{1}{m^2+2m+1}\right) \left(\frac{3-m}{m^2-2m+1} - \frac{2}{1-m}\right)$
є додатним для всіх допустимих значень змінної.
Короткий розв'язок
$\left(\frac{m^2-3m}{(m+1)^3} + \frac{1}{(m+1)^2}\right) \cdot \left(\frac{3-m}{(m-1)^2} - \frac{2}{-(m-1)}\right) = $
$= \frac{m^2-3m+m+1}{(m+1)^3} \cdot \frac{3-m+2(m-1)}{(m-1)^2} = $
$= \frac{m^2-2m+1}{(m+1)^3} \cdot \frac{m+1}{(m-1)^2} = $
$= \frac{(m-1)^2}{(m+1)^3} \cdot \frac{m+1}{(m-1)^2} = \frac{1}{(m+1)^2} > 0$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз є додатним, ми спочатку спростимо його. Для цього ми розкладемо знаменники на множники, використовуючи формули скороченого множення (куб суми та квадрат суми/різниці), виконаємо дії в дужках, а потім проаналізуємо отриманий результат.
Розглянемо вираз у перших дужках. Розкладемо знаменники на множники:
$m^3+3m^2+3m+1 = (m+1)^3$
$m^2+2m+1 = (m+1)^2$
Зведемо дроби до спільного знаменника $(m+1)^3$:
Тепер розглянемо вираз у других дужках. Розкладемо знаменники:
$m^2-2m+1 = (m-1)^2$
$1-m = -(m-1)$
Зведемо дроби до спільного знаменника $(m-1)^2$:
Нарешті, перемножимо результати з обох дужок:
Скорочуємо $(m-1)^2$ в чисельнику і знаменнику, а також $m+1$:
Отриманий вираз $\frac{1}{(m+1)^2}$ є додатним для всіх допустимих значень змінної $m$. Чисельник 1 є додатним. Знаменник $(m+1)^2$ є квадратом виразу, тому він завжди невід'ємний. Оскільки $m \neq -1$ (з області допустимих значень), знаменник є строго додатним. Частка двох додатних чисел є додатним числом. Отже, доведено.
