До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.29

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Доведіть, що значення виразу

(m2−3mm3+3m2+3m+1+1m2+2m+1)(3−mm2−2m+1−21−m)\left(\frac{m^2-3m}{m^3+3m^2+3m+1} + \frac{1}{m^2+2m+1}\right) \left(\frac{3-m}{m^2-2m+1} - \frac{2}{1-m}\right)

є додатним для всіх допустимих значень змінної.

Короткий розв'язок

(m2−3m(m+1)3+1(m+1)2)⋅(3−m(m−1)2−2−(m−1))=\left(\frac{m^2-3m}{(m+1)^3} + \frac{1}{(m+1)^2}\right) \cdot \left(\frac{3-m}{(m-1)^2} - \frac{2}{-(m-1)}\right) =

=m2−3m+m+1(m+1)3⋅3−m+2(m−1)(m−1)2== \frac{m^2-3m+m+1}{(m+1)^3} \cdot \frac{3-m+2(m-1)}{(m-1)^2} =

=m2−2m+1(m+1)3⋅m+1(m−1)2== \frac{m^2-2m+1}{(m+1)^3} \cdot \frac{m+1}{(m-1)^2} =

=(m−1)2(m+1)3⋅m+1(m−1)2=1(m+1)2>0= \frac{(m-1)^2}{(m+1)^3} \cdot \frac{m+1}{(m-1)^2} = \frac{1}{(m+1)^2} > 0

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що вираз є додатним, ми спочатку спростимо його. Для цього ми розкладемо знаменники на множники, використовуючи формули скороченого множення (куб суми та квадрат суми/різниці), виконаємо дії в дужках, а потім проаналізуємо отриманий результат.

Розглянемо вираз у перших дужках. Розкладемо знаменники на множники:

m3+3m2+3m+1=(m+1)3m^3+3m^2+3m+1 = (m+1)^3

m2+2m+1=(m+1)2m^2+2m+1 = (m+1)^2

Зведемо дроби до спільного знаменника (m+1)3(m+1)^3:

m2−3m(m+1)3+1(m+1)2=m2−3m+1(m+1)(m+1)3= \frac{m^2-3m}{(m+1)^3} + \frac{1}{(m+1)^2} = \frac{m^2-3m+1(m+1)}{(m+1)^3} =
=m2−3m+m+1(m+1)3=m2−2m+1(m+1)3=(m−1)2(m+1)3 = \frac{m^2-3m+m+1}{(m+1)^3} = \frac{m^2-2m+1}{(m+1)^3} = \frac{(m-1)^2}{(m+1)^3}

Тепер розглянемо вираз у других дужках. Розкладемо знаменники:

m2−2m+1=(m−1)2m^2-2m+1 = (m-1)^2

1−m=−(m−1)1-m = -(m-1)

Зведемо дроби до спільного знаменника (m−1)2(m-1)^2:

3−m(m−1)2−2−(m−1)=3−m(m−1)2+2m−1= \frac{3-m}{(m-1)^2} - \frac{2}{-(m-1)} = \frac{3-m}{(m-1)^2} + \frac{2}{m-1} =
=3−m+2(m−1)(m−1)2=3−m+2m−2(m−1)2=m+1(m−1)2 = \frac{3-m+2(m-1)}{(m-1)^2} = \frac{3-m+2m-2}{(m-1)^2} = \frac{m+1}{(m-1)^2}

Нарешті, перемножимо результати з обох дужок:

(m−1)2(m+1)3⋅m+1(m−1)2 \frac{(m-1)^2}{(m+1)^3} \cdot \frac{m+1}{(m-1)^2}

Скорочуємо (m−1)2(m-1)^2 в чисельнику і знаменнику, а також m+1m+1:

=1(m+1)2 = \frac{1}{(m+1)^2}

Отриманий вираз 1(m+1)2\frac{1}{(m+1)^2} є додатним для всіх допустимих значень змінної mm. Чисельник 1 є додатним. Знаменник (m+1)2(m+1)^2 є квадратом виразу, тому він завжди невід'ємний. Оскільки m≠−1m \neq -1 (з області допустимих значень), знаменник є строго додатним. Частка двох додатних чисел є додатним числом. Отже, доведено.