ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.31

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Подайте у вигляді раціонального дробу або цілого виразу:

1) $1 + \frac{2x}{1-\frac{x}{x+2}}$; 2) $\frac{1}{n-\frac{1}{n+\frac{n}{n-1}}}$.

Короткий розв'язок

1) $1 + \frac{2x}{\frac{x+2-x}{x+2}} = 1 + \frac{2x}{\frac{2}{x+2}} = 1 + x(x+2) = 1+x^2+2x = (x+1)^2$

2) $\frac{1}{n-\frac{1}{\frac{n(n-1)+n}{n-1}}} = \frac{1}{n-\frac{n-1}{n^2}} = \frac{1}{\frac{n^3-(n-1)}{n^2}} = \frac{n^2}{n^3-n+1}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення таких багатоповерхових дробів ми послідовно виконуємо дії, починаючи з найглибше вкладеного виразу. Кожен крок полягає у додаванні або відніманні дробів, а потім у заміні ділення на дріб множенням на обернений до нього.

1) $1 + \frac{2x}{1-\frac{x}{x+2}}$

Спочатку виконаємо дію в знаменнику дробу:

$$ 1-\frac{x}{x+2} = \frac{1 \cdot (x+2) - x}{x+2} = \frac{x+2-x}{x+2} = \frac{2}{x+2} $$

Тепер підставимо отриманий результат у початковий вираз:

$$ 1 + \frac{2x}{\frac{2}{x+2}} = 1 + 2x \cdot \frac{x+2}{2} = 1 + x(x+2) = $$

$$ = 1 + x^2 + 2x = x^2+2x+1 = (x+1)^2 $$

2) $\frac{1}{n-\frac{1}{n+\frac{n}{n-1}}}$

Почнемо спрощення з найнижчого знаменника:

$$ n+\frac{n}{n-1} = \frac{n(n-1)+n}{n-1} = \frac{n^2-n+n}{n-1} = \frac{n^2}{n-1} $$

Підставимо результат на рівень вище. Вираз $\frac{1}{\dots}$ означає обернений дріб:

$$ n-\frac{1}{\frac{n^2}{n-1}} = n - \frac{n-1}{n^2} = \frac{n \cdot n^2 - (n-1)}{n^2} = $$

$$ = \frac{n^3-n+1}{n^2} $$