Відкрити меню

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №76

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 76

Розв'яжіть систему рівнянь:

  1. $\begin{cases} 2m - 3n = 7, \\ 5m + 6n = 4; \end{cases}$
  2. $\begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 8x + 5y = 24; \end{cases}$
  3. $\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 5x - 3y = 18. \end{cases}$

Розв'язок вправи № 76

Короткий розв'язок

1)

$$\begin{cases} 2m - 3n = 7 \ |\cdot(2) \\ 5m + 6n = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 4m - 6n = 14 \\ 5m + 6n = 4 \end{cases}$$
$$9m = 18 \implies m = 2$$
$$2(2) - 3n = 7 \implies 4 - 3n = 7 \implies -3n = 3 \implies n = -1$$

Відповідь: (2; -1).

2)

$$\begin{cases} 2x - 3y = 6 \ |\cdot(-4) \\ 8x + 5y = 24 \end{cases} \implies \begin{cases} -8x + 12y = -24 \\ 8x + 5y = 24 \end{cases}$$
$$17y = 0 \implies y = 0$$
$$2x - 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$

Відповідь: (3; 0).

3)

$$\begin{cases} 4x + 7y = 5 \ |\cdot(3) \\ 5x - 3y = 18 \ |\cdot(7) \end{cases} \implies \begin{cases} 12x + 21y = 15 \\ 35x - 21y = 126 \end{cases}$$
$$47x = 141 \implies x = 3$$
$$4(3) + 7y = 5 \implies 12 + 7y = 5 \implies 7y = -7 \implies y = -1$$

Відповідь: (3; -1).

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для розв'язання цих систем ми знову використовуємо метод додавання. Наша мета — перетворити одне або обидва рівняння так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами (наприклад, 6 і -6), щоб при додаванні вони взаємно знищились.

1) $\begin{cases} 2m - 3n = 7, \\ 5m + 6n = 4; \end{cases}$

Помножимо перше рівняння на 2, щоб коефіцієнти біля змінної $n$ стали протилежними (-6 та 6):

$$ 2 \cdot (2m - 3n) = 2 \cdot 7 \implies 4m - 6n = 14 $$

Тепер додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

$$(4m - 6n) + (5m + 6n) = 14 + 4$$
$$9m = 18 \implies m = 2$$

Підставимо знайдене значення $m=2$ у перше початкове рівняння:

$$2(2) - 3n = 7 \implies 4 - 3n = 7 \implies -3n = 3 \implies n = -1$$

Відповідь: (2; -1).

2) $\begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 8x + 5y = 24; \end{cases}$

Помножимо перше рівняння на -4, щоб коефіцієнти біля $x$ стали протилежними (-8 та 8):

$$-4 \cdot (2x - 3y) = -4 \cdot 6 \implies -8x + 12y = -24$$

Додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

$$(-8x + 12y) + (8x + 5y) = -24 + 24$$
$$17y = 0 \implies y = 0$$

Підставимо $y=0$ у перше початкове рівняння:

$$2x - 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3$$

Відповідь: (3; 0).

3) $\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 5x - 3y = 18. \end{cases}$

Щоб виключити змінну $y$, помножимо перше рівняння на 3, а друге — на 7. Так ми отримаємо коефіцієнти +21 та -21 біля $y$.

$$3 \cdot (4x + 7y) = 3 \cdot 5 \implies 12x + 21y = 15$$
$$7 \cdot (5x - 3y) = 7 \cdot 18 \implies 35x - 21y = 126$$

Тепер додамо нові рівняння:

$$(12x + 21y) + (35x - 21y) = 15 + 126$$
$$47x = 141 \implies x = 3$$

Підставимо $x=3$ у перше початкове рівняння:

$$4(3) + 7y = 5 \implies 12 + 7y = 5 \implies 7y = -7 \implies y = -1$$

Відповідь: (3; -1).

реклама

Дивись гдз з предметів для 8 класу