До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №76

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 76

Розв'яжіть систему рівнянь:

  1. {2m−3n=7,5m+6n=4;\begin{cases} 2m - 3n = 7, \\ 5m + 6n = 4; \end{cases}
  2. {2x−3y=6,8x+5y=24;\begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 8x + 5y = 24; \end{cases}
  3. {4x+7y=5,5x−3y=18.\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 5x - 3y = 18. \end{cases}

Розв'язок вправи № 76

Короткий розв'язок

1)

{2m−3n=7 ∣⋅(2)5m+6n=4  ⟹  {4m−6n=145m+6n=4\begin{cases} 2m - 3n = 7 \ |\cdot(2) \\ 5m + 6n = 4 \end{cases} \implies \begin{cases} 4m - 6n = 14 \\ 5m + 6n = 4 \end{cases}
9m=18  ⟹  m=29m = 18 \implies m = 2
2(2)−3n=7  ⟹  4−3n=7  ⟹  −3n=3  ⟹  n=−12(2) - 3n = 7 \implies 4 - 3n = 7 \implies -3n = 3 \implies n = -1

Відповідь: (2; -1).

2)

{2x−3y=6 ∣⋅(−4)8x+5y=24  ⟹  {−8x+12y=−248x+5y=24\begin{cases} 2x - 3y = 6 \ |\cdot(-4) \\ 8x + 5y = 24 \end{cases} \implies \begin{cases} -8x + 12y = -24 \\ 8x + 5y = 24 \end{cases}
17y=0  ⟹  y=017y = 0 \implies y = 0
2x−3(0)=6  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3

Відповідь: (3; 0).

3)

{4x+7y=5 ∣⋅(3)5x−3y=18 ∣⋅(7)  ⟹  {12x+21y=1535x−21y=126\begin{cases} 4x + 7y = 5 \ |\cdot(3) \\ 5x - 3y = 18 \ |\cdot(7) \end{cases} \implies \begin{cases} 12x + 21y = 15 \\ 35x - 21y = 126 \end{cases}
47x=141  ⟹  x=347x = 141 \implies x = 3
4(3)+7y=5  ⟹  12+7y=5  ⟹  7y=−7  ⟹  y=−14(3) + 7y = 5 \implies 12 + 7y = 5 \implies 7y = -7 \implies y = -1

Відповідь: (3; -1).

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для розв'язання цих систем ми знову використовуємо метод додавання. Наша мета — перетворити одне або обидва рівняння так, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними числами (наприклад, 6 і -6), щоб при додаванні вони взаємно знищились.

1) {2m−3n=7,5m+6n=4;\begin{cases} 2m - 3n = 7, \\ 5m + 6n = 4; \end{cases}

Помножимо перше рівняння на 2, щоб коефіцієнти біля змінної nn стали протилежними (-6 та 6):

2⋅(2m−3n)=2⋅7  ⟹  4m−6n=14 2 \cdot (2m - 3n) = 2 \cdot 7 \implies 4m - 6n = 14

Тепер додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

(4m−6n)+(5m+6n)=14+4(4m - 6n) + (5m + 6n) = 14 + 4
9m=18  ⟹  m=29m = 18 \implies m = 2

Підставимо знайдене значення m=2m=2 у перше початкове рівняння:

2(2)−3n=7  ⟹  4−3n=7  ⟹  −3n=3  ⟹  n=−12(2) - 3n = 7 \implies 4 - 3n = 7 \implies -3n = 3 \implies n = -1

Відповідь: (2; -1).

2) {2x−3y=6,8x+5y=24;\begin{cases} 2x - 3y = 6, \\ 8x + 5y = 24; \end{cases}

Помножимо перше рівняння на -4, щоб коефіцієнти біля xx стали протилежними (-8 та 8):

−4⋅(2x−3y)=−4⋅6  ⟹  −8x+12y=−24-4 \cdot (2x - 3y) = -4 \cdot 6 \implies -8x + 12y = -24

Додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

(−8x+12y)+(8x+5y)=−24+24(-8x + 12y) + (8x + 5y) = -24 + 24
17y=0  ⟹  y=017y = 0 \implies y = 0

Підставимо y=0y=0 у перше початкове рівняння:

2x−3(0)=6  ⟹  2x=6  ⟹  x=32x - 3(0) = 6 \implies 2x = 6 \implies x = 3

Відповідь: (3; 0).

3) {4x+7y=5,5x−3y=18.\begin{cases} 4x + 7y = 5, \\ 5x - 3y = 18. \end{cases}

Щоб виключити змінну yy, помножимо перше рівняння на 3, а друге — на 7. Так ми отримаємо коефіцієнти +21 та -21 біля yy.

3⋅(4x+7y)=3⋅5  ⟹  12x+21y=153 \cdot (4x + 7y) = 3 \cdot 5 \implies 12x + 21y = 15
7⋅(5x−3y)=7⋅18  ⟹  35x−21y=1267 \cdot (5x - 3y) = 7 \cdot 18 \implies 35x - 21y = 126

Тепер додамо нові рівняння:

(12x+21y)+(35x−21y)=15+126(12x + 21y) + (35x - 21y) = 15 + 126
47x=141  ⟹  x=347x = 141 \implies x = 3

Підставимо x=3x=3 у перше початкове рівняння:

4(3)+7y=5  ⟹  12+7y=5  ⟹  7y=−7  ⟹  y=−14(3) + 7y = 5 \implies 12 + 7y = 5 \implies 7y = -7 \implies y = -1

Відповідь: (3; -1).