Відкрити меню

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №75

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 75

Розв'яжіть систему рівнянь:

  1. $\begin{cases} 2a + 3b = 0, \\ 4a - 5b = -22; \end{cases}$
  2. $\begin{cases} 4x - 5y = 1, \\ 3x + 10y = 42; \end{cases}$
  3. $\begin{cases} 3x + 5y = 9, \\ 4x - 3y = -17. \end{cases}$

Розв'язок вправи № 75

Короткий розв'язок

1)

$$\begin{cases} 2a + 3b = 0 \ |\cdot(-2) \\ 4a - 5b = -22 \end{cases} \implies \begin{cases} -4a - 6b = 0 \\ 4a - 5b = -22 \end{cases}$$
$$-11b = -22 \implies b = 2$$
$$2a + 3(2) = 0 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$

Відповідь: (-3; 2).

2)

$$\begin{cases} 4x - 5y = 1 \ |\cdot(2) \\ 3x + 10y = 42 \end{cases} \implies \begin{cases} 8x - 10y = 2 \\ 3x + 10y = 42 \end{cases}$$
$$11x = 44 \implies x = 4$$
$$4(4) - 5y = 1 \implies 16 - 5y = 1 \implies -5y = -15 \implies y = 3$$

Відповідь: (4; 3).

3)

$$\begin{cases} 3x + 5y = 9 \ |\cdot(3) \\ 4x - 3y = -17 \ |\cdot(5) \end{cases} \implies \begin{cases} 9x + 15y = 27 \\ 20x - 15y = -85 \end{cases}$$
$$29x = -58 \implies x = -2$$
$$3(-2) + 5y = 9 \implies -6 + 5y = 9 \implies 5y = 15 \implies y = 3$$

Відповідь: (-2; 3).

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для розв'язання систем рівнянь методом додавання необхідно домножити одне або обидва рівняння на такі числа, щоб коефіцієнти при одній зі змінних стали протилежними. Після додавання рівнянь одна змінна зникне, що дозволить знайти іншу.

1) $\begin{cases} 2a + 3b = 0, \\ 4a - 5b = -22; \end{cases}$

Помножимо перше рівняння на -2, щоб коефіцієнти при $a$ стали протилежними (-4 та 4).

$$ -2 \cdot (2a + 3b) = -2 \cdot 0 \implies -4a - 6b = 0 $$

Тепер додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

$$(-4a - 6b) + (4a - 5b) = 0 + (-22)$$
$$-11b = -22$$
$$b = 2$$

Підставимо $b = 2$ у перше початкове рівняння, щоб знайти $a$:

$$2a + 3(2) = 0$$
$$2a + 6 = 0 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$

Відповідь: (-3; 2).

2) $\begin{cases} 4x - 5y = 1, \\ 3x + 10y = 42; \end{cases}$

Помножимо перше рівняння на 2, щоб коефіцієнти при $y$ стали протилежними (-10 та 10).

$$2 \cdot (4x - 5y) = 2 \cdot 1 \implies 8x - 10y = 2$$

Додамо отримане рівняння до другого рівняння системи:

$$(8x - 10y) + (3x + 10y) = 2 + 42$$
$$11x = 44 \implies x = 4$$

Підставимо $x=4$ у перше початкове рівняння:

$$4(4) - 5y = 1$$
$$16 - 5y = 1 \implies -5y = -15 \implies y = 3$$

Відповідь: (4; 3).

3) $\begin{cases} 3x + 5y = 9, \\ 4x - 3y = -17. \end{cases}$

Щоб виключити $y$, помножимо перше рівняння на 3, а друге на 5.

$$3 \cdot (3x + 5y) = 3 \cdot 9 \implies 9x + 15y = 27$$
$$5 \cdot (4x - 3y) = 5 \cdot (-17) \implies 20x - 15y = -85$$

Додамо нові рівняння:

$$(9x + 15y) + (20x - 15y) = 27 - 85$$
$$29x = -58 \implies x = -2$$

Підставимо $x=-2$ у перше початкове рівняння:

$$3(-2) + 5y = 9$$
$$-6 + 5y = 9 \implies 5y = 15 \implies y = 3$$

Відповідь: (-2; 3).

реклама

Дивись гдз з предметів для 8 класу