ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1244
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О.С. Істер.
Умова вправи № 1244
Чи існують такі цілі числа $x$ і $y,$ для яких справджується рівність $x^2 + 2018 = y^2?$
Розв'язок вправи № 1244
Коротке рішення
Перепишемо рівність: $y^2 - x^2 = 2018.$
Застосуємо формулу різниці квадратів: $(y - x)(y + x) = 2018.$
Числа $(y - x)$ та $(y + x)$ мають однакову парність, оскільки їх сума $(y - x) + (y + x) = 2y$ є парним числом.
1) Якщо обидва числа непарні, то їх добуток непарний (а 2018 — парне).
2) Якщо обидва числа парні, то їх добуток має ділитися на 4. Проте $2018 : 4 = 504,5$ (націло не ділиться).
Отже, таких цілих чисел не існує.
Відповідь: ні.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для аналізу рівності ми використовуємо формулу різниці квадратів: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b).$ Це дозволяє перетворити суму на добуток і перевірити його властивості.
Ми перетворили початковий вираз так, щоб зліва була різниця квадратів, а справа — число 2018. За формулою ми розклали ліву частину на дві дужки. Тепер логіка: ці дві дужки — це або два парних числа, або два непарних (бо їхня різниця дорівнює $2x,$ що завжди парне). Якщо вони обидва непарні, ми ніяк не отримаємо парне число 2018. А якщо вони обидва парні, то кожна дужка ділиться на 2, а значить весь добуток обов’язково має ділитися на 4. Перевіряємо 2018: воно ділиться на 2, але не на 4. Це математичний "тупик", який доводить, що таких цілих чисел просто не існує в природі.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.