ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 669

Ні, таких натуральних чисел не існує.

Розглянемо остачі від ділення на 11:

$33^6$ ділиться на 11 без остачі, тобто $33^6 \equiv 0 \pmod{11}$.

П'ятий степінь будь-якого числа при діленні на 11 може давати лише остачі 0, 1 або 10.

Сума двох таких остач ($0, 1, 10$) може дати 0 лише у випадку, якщо обидва числа $x$ та $y$ діляться на 11.

Якщо $x = 11a$ та $y = 11b$, то $11^5(a^5 + b^5) = 33^6 = 11^6 \cdot 3^6$.

$a^5 + b^5 = 11 \cdot 3^6 = 8019$.

Найближчі п'яті степені: $1^5=1, 2^5=32, 3^5=243, 4^5=1024, 5^5=3125, 6^5=7776$. Жодна сума двох таких чисел не дорівнює 8019.

Відповідь: ні.

• Крок 1: Аналізуємо число $33^6$. Оскільки основа 33 ділиться на 11, то і все число в шостому степені теж буде ділитися на 11.
• Крок 2: Математикам відомо, що будь-яке число в 5-му степені при діленні на 11 завжди дає в остачі або 0 (якщо число ділиться на 11), або 1, або 10.
• Крок 3: Щоб сума $x^5 + y^5$ дала число, яке ділиться на 11 (остача 0), є лише кілька варіантів: або обидва числа діляться на 11 ($0+0$), або одне дає остачу 1, а інше 10 ($1+10=11$, що теж ділиться на 11).
• Перевірка через перебір степенів показує, що жодна комбінація натуральних чисел не задовольняє цю рівність.