ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.28

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Доведіть, що значення виразу

$\left(\frac{2x}{x+1} + \frac{2}{x-1} + \frac{4x}{x^2-1}\right) \left(\frac{2x}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{4x}{x^2-1}\right)$

не залежить від значення змінної.

Короткий розв'язок

$\left(\frac{2x(x-1)+2(x+1)+4x}{x^2-1}\right) \cdot \left(\frac{2x(x-1)+2(x+1)-4x}{x^2-1}\right) =$

$= \frac{2x^2+4x+2}{x^2-1} \cdot \frac{2x^2-4x+2}{x^2-1} =$

$= \frac{2(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{2(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} =$

$= \frac{2(x+1)}{x-1} \cdot \frac{2(x-1)}{x+1} = 4$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для доведення ми спростимо вираз. Можна помітити, що вираз має структуру $(A+B)(A-B)$ , що є формулою різниці квадратів. Проте, простішим шляхом буде спочатку виконати дії в кожній з дужок, звівши дроби до спільного знаменника, а потім перемножити отримані результати.

Спростимо вираз у перших дужках. Спільний знаменник: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ .

\frac{2x}{x+1} + \frac{2}{x-1} + \frac{4x}{x^2-1} = \frac{2x(x-1) + 2(x+1) + 4x}{(x-1)(x+1)} =

= \frac{2x^2 - 2x + 2x + 2 + 4x}{x^2-1} = \frac{2x^2+4x+2}{x^2-1} =

= \frac{2(x^2+2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x+1)}{x-1}

Тепер спростимо вираз у других дужках. Спільний знаменник той самий.

\frac{2x}{x+1} + \frac{2}{x-1} - \frac{4x}{x^2-1} = \frac{2x(x-1) + 2(x+1) - 4x}{(x-1)(x+1)} =

= \frac{2x^2 - 2x + 2x + 2 - 4x}{x^2-1} = \frac{2x^2-4x+2}{x^2-1} =

= \frac{2(x^2-2x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} = \frac{2(x-1)}{x+1}

Нарешті, перемножимо результати обох спрощень:

\frac{2(x+1)}{x-1} \cdot \frac{2(x-1)}{x+1}

Скорочуємо $(x+1)$ в чисельнику першого дробу та знаменнику другого, а також $(x-1)$ в знаменнику першого та чисельнику другого:

= 2 \cdot 2 = 4

Оскільки кінцевий результат дорівнює 4, він є сталою величиною (константою) і не залежить від значення змінної $x$ .