ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.26

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$ , якщо $x + \frac{1}{x} = 3$ .

Короткий розв'язок

$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2$

$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для знаходження значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$ , ми піднесемо до квадрата обидві частини відомої рівності $x + \frac{1}{x} = 3$ . Це дозволить нам використати формулу квадрата суми $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ і виразити шукану величину.

За умовою нам дано:

x + \frac{1}{x} = 3

Піднесемо обидві частини цього рівняння до квадрата:

\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2

Застосуємо формулу квадрата суми до лівої частини, де $a=x$ і $b=\frac{1}{x}$ :

x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \left(\frac{1}{x}\right)^2 = 9

Спростимо вираз, скоротивши $x$ у другому доданку:

x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9

Ізолюємо шуканий вираз $x^2 + \frac{1}{x^2}$ , перенісши 2 в праву частину рівняння зі зміною знака:

x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2

x^2 + \frac{1}{x^2} = 7

Відповідь: 7.