ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.26
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Знайдіть значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$, якщо $x + \frac{1}{x} = 3$.
Короткий розв'язок
$\left(x + \frac{1}{x}\right)^2 = 3^2$
$x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 9$
$x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 9$
$x^2 + \frac{1}{x^2} = 9 - 2 = 7$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для знаходження значення виразу $x^2 + \frac{1}{x^2}$, ми піднесемо до квадрата обидві частини відомої рівності $x + \frac{1}{x} = 3$. Це дозволить нам використати формулу квадрата суми $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ і виразити шукану величину.
За умовою нам дано:
Піднесемо обидві частини цього рівняння до квадрата:
Застосуємо формулу квадрата суми до лівої частини, де $a=x$ і $b=\frac{1}{x}$:
Спростимо вираз, скоротивши $x$ у другому доданку:
Ізолюємо шуканий вираз $x^2 + \frac{1}{x^2}$, перенісши 2 в праву частину рівняння зі зміною знака:
Відповідь: 7.
