До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.24

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть значення виразу

(1,5a−40,5a2−a+2−2a−140,5a3+4+1a+2):4a+2\left(\frac{1,5a-4}{0,5a^2-a+2} - \frac{2a-14}{0,5a^3+4} + \frac{1}{a+2}\right) : \frac{4}{a+2},

якщо a=197a = 197.

Короткий розв'язок

(3a−8a2−2a+4−4a−28a3+8+1a+2):4a+2=\left(\frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8} + \frac{1}{a+2}\right) : \frac{4}{a+2} =

=(3a−8)(a+2)−(4a−28)+(a2−2a+4)a3+8:4a+2== \frac{(3a-8)(a+2) - (4a-28) + (a^2-2a+4)}{a^3+8} : \frac{4}{a+2} =

=4(a2−2a+4)(a+2)(a2−2a+4):4a+2== \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} : \frac{4}{a+2} =

=4a+2:4a+2=1= \frac{4}{a+2} : \frac{4}{a+2} = 1

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб знайти значення виразу, не варто одразу підставляти a=197a=197. Набагато простіше спочатку спростити вираз у дужках, а потім виконати ділення. Для спрощення ми використаємо формулу суми кубів a3+b3=(a+b)(a2−ab+b2)a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) та позбудемося десяткових дробів.

Спочатку спростимо вираз у дужках. Перетворимо дроби, що містять десяткові коефіцієнти, помноживши чисельник і знаменник на 2:

1,5a−40,5a2−a+2=2(1,5a−4)2(0,5a2−a+2)=3a−8a2−2a+4\frac{1,5a-4}{0,5a^2-a+2} = \frac{2(1,5a-4)}{2(0,5a^2-a+2)} = \frac{3a-8}{a^2-2a+4}

2a−140,5a3+4=2(2a−14)2(0,5a3+4)=4a−28a3+8\frac{2a-14}{0,5a^3+4} = \frac{2(2a-14)}{2(0,5a^3+4)} = \frac{4a-28}{a^3+8}

Тепер вираз у дужках має вигляд:

3a−8a2−2a+4−4a−28a3+8+1a+2= \frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8} + \frac{1}{a+2} =

Розкладемо знаменник другого дробу за формулою суми кубів: a3+8=a3+23=(a+2)(a2−2a+4)a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4).

Спільним знаменником є (a+2)(a2−2a+4)(a+2)(a^2-2a+4). Зведемо до нього всі дроби:

=(3a−8)(a+2)(a+2)(a2−2a+4)−4a−28(a+2)(a2−2a+4)+= \frac{(3a-8)(a+2)}{(a+2)(a^2-2a+4)} - \frac{4a-28}{(a+2)(a^2-2a+4)} +
+1(a2−2a+4)(a+2)(a2−2a+4)=+ \frac{1(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} =

Запишемо все під спільним знаменником та розкриємо дужки в чисельнику:

=3a2+6a−8a−16−(4a−28)+a2−2a+4(a+2)(a2−2a+4)== \frac{3a^2+6a-8a-16 - (4a-28) + a^2-2a+4}{(a+2)(a^2-2a+4)} =
=3a2−2a−16−4a+28+a2−2a+4a3+8== \frac{3a^2-2a-16 - 4a+28 + a^2-2a+4}{a^3+8} =

Зведемо подібні доданки в чисельнику:

=(3a2+a2)+(−2a−4a−2a)+(−16+28+4)a3+8== \frac{(3a^2+a^2) + (-2a-4a-2a) + (-16+28+4)}{a^3+8} =
=4a2−8a+16a3+8=4(a2−2a+4)(a+2)(a2−2a+4)=4a+2= \frac{4a^2-8a+16}{a^3+8} = \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} = \frac{4}{a+2}

Тепер виконаємо ділення:

4a+2:4a+2=1 \frac{4}{a+2} : \frac{4}{a+2} = 1

Результат спрощення дорівнює 1. Це означає, що значення виразу не залежить від значення змінної aa.

Відповідь: 1.