ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.24
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Знайдіть значення виразу
$\left(\frac{1,5a-4}{0,5a^2-a+2} - \frac{2a-14}{0,5a^3+4} + \frac{1}{a+2}\right) : \frac{4}{a+2}$,
якщо $a = 197$.
Короткий розв'язок
$\left(\frac{3a-8}{a^2-2a+4} - \frac{4a-28}{a^3+8} + \frac{1}{a+2}\right) : \frac{4}{a+2} = $
$= \frac{(3a-8)(a+2) - (4a-28) + (a^2-2a+4)}{a^3+8} : \frac{4}{a+2} = $
$= \frac{4(a^2-2a+4)}{(a+2)(a^2-2a+4)} : \frac{4}{a+2} = $
$= \frac{4}{a+2} : \frac{4}{a+2} = 1$
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Щоб знайти значення виразу, не варто одразу підставляти $a=197$. Набагато простіше спочатку спростити вираз у дужках, а потім виконати ділення. Для спрощення ми використаємо формулу суми кубів $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ та позбудемося десяткових дробів.
Спочатку спростимо вираз у дужках. Перетворимо дроби, що містять десяткові коефіцієнти, помноживши чисельник і знаменник на 2:
$\frac{1,5a-4}{0,5a^2-a+2} = \frac{2(1,5a-4)}{2(0,5a^2-a+2)} = \frac{3a-8}{a^2-2a+4}$
$\frac{2a-14}{0,5a^3+4} = \frac{2(2a-14)}{2(0,5a^3+4)} = \frac{4a-28}{a^3+8}$
Тепер вираз у дужках має вигляд:
Розкладемо знаменник другого дробу за формулою суми кубів: $a^3+8 = a^3+2^3 = (a+2)(a^2-2a+4)$.
Спільним знаменником є $(a+2)(a^2-2a+4)$. Зведемо до нього всі дроби:
Запишемо все під спільним знаменником та розкриємо дужки в чисельнику:
Зведемо подібні доданки в чисельнику:
Тепер виконаємо ділення:
Результат спрощення дорівнює 1. Це означає, що значення виразу не залежить від значення змінної $a$.
Відповідь: 1.
