ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.27

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Спростіть вираз:

1) $\left(\frac{8x^2+2x}{8x^3-1} - \frac{2x+1}{4x^2+2x+1}\right) \cdot \left(1 + \frac{2x+1}{2x} - \frac{4x^2+10x}{4x^2+2x}\right)$;

2) $\frac{p^2-2p+1}{4} \cdot \left(\frac{2p}{p^3+1} : \frac{1-p}{p^2-p+1} + \frac{2}{p-1}\right) : \frac{p-1}{p+1}$.

Короткий розв'язок

1) $\frac{4x^2+2x+1}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \cdot \frac{4x^2-4x+1}{2x(2x+1)} = \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)} = \frac{2x-1}{2x(2x+1)}$

2) $\frac{(p-1)^2}{4} \cdot \left(\frac{-2p}{p^2-1} + \frac{2(p+1)}{p^2-1}\right) : \frac{p-1}{p+1} = \frac{(p-1)^2}{4} \cdot \frac{2}{p^2-1} \cdot \frac{p+1}{p-1} = \frac{1}{2}$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми будемо виконувати дії по черзі, дотримуючись їх пріоритету (спочатку в дужках, потім множення та ділення). Будуть застосовані формули скороченого множення, зокрема різниця кубів та сума кубів, а також зведення дробів до спільного знаменника.

1) $\left(\frac{8x^2+2x}{8x^3-1} - \frac{2x+1}{4x^2+2x+1}\right) \cdot \left(1 + \frac{2x+1}{2x} - \frac{4x^2+10x}{4x^2+2x}\right)$

Виконаємо дії в перших дужках. Розкладемо знаменник $8x^3-1 = (2x-1)(4x^2+2x+1)$:

$$ \frac{8x^2+2x}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} - \frac{2x+1}{4x^2+2x+1} =$$

$$= \frac{8x^2+2x - (2x+1)(2x-1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} = $$

$$ = \frac{8x^2+2x - (4x^2-1)}{8x^3-1} =$$

$$= \frac{4x^2+2x+1}{8x^3-1} = \frac{4x^2+2x+1}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} = \frac{1}{2x-1} $$

Тепер виконаємо дії в других дужках. Спільний знаменник $4x^2+2x = 2x(2x+1)$:

$$ 1 + \frac{2x+1}{2x} - \frac{4x^2+10x}{2x(2x+1)} = \frac{2x(2x+1) + (2x+1)^2 - (4x^2+10x)}{2x(2x+1)} = $$

$$ = \frac{4x^2+2x + 4x^2+4x+1 - 4x^2-10x}{2x(2x+1)} =$$

$$= \frac{4x^2-4x+1}{2x(2x+1)} = \frac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)} $$

Перемножимо результати:

$$ \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)} = \frac{2x-1}{2x(2x+1)} $$

2) $\frac{p^2-2p+1}{4} \cdot \left(\frac{2p}{p^3+1} : \frac{1-p}{p^2-p+1} + \frac{2}{p-1}\right) : \frac{p-1}{p+1}$

Спочатку виконаємо ділення в дужках, розклавши $p^3+1=(p+1)(p^2-p+1)$:

$$ \frac{2p}{(p+1)(p^2-p+1)} : \frac{-(p-1)}{p^2-p+1} = $$

$$= \frac{2p}{(p+1)(p^2-p+1)} \cdot \frac{p^2-p+1}{-(p-1)} = \frac{-2p}{(p+1)(p-1)} $$

Тепер додавання в дужках:

$$ \frac{-2p}{(p+1)(p-1)} + \frac{2}{p-1} = $$

$$=\frac{-2p + 2(p+1)}{(p+1)(p-1)} = \frac{-2p+2p+2}{(p+1)(p-1)} = \frac{2}{p^2-1} $$

Зберемо весь вираз. Перший дріб це $(p-1)^2/4$:

$$ \frac{(p-1)^2}{4} \cdot \frac{2}{p^2-1} : \frac{p-1}{p+1} = \frac{(p-1)^2}{4} \cdot \frac{2}{(p-1)(p+1)} \cdot \frac{p+1}{p-1} = $$

Скорочуємо однакові множники в чисельнику і знаменнику:

$$ = \frac{(p-1)^2 \cdot 2 \cdot (p+1)}{4 \cdot (p-1)(p+1) \cdot (p-1)} = \frac{2 \cdot (p-1)^2 \cdot (p+1)}{4 \cdot (p-1)^2 \cdot (p+1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $$