До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 7.27

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) (8x2+2x8x3−1−2x+14x2+2x+1)⋅(1+2x+12x−4x2+10x4x2+2x)\left(\frac{8x^2+2x}{8x^3-1} - \frac{2x+1}{4x^2+2x+1}\right) \cdot \left(1 + \frac{2x+1}{2x} - \frac{4x^2+10x}{4x^2+2x}\right);

2) p2−2p+14⋅(2pp3+1:1−pp2−p+1+2p−1):p−1p+1\frac{p^2-2p+1}{4} \cdot \left(\frac{2p}{p^3+1} : \frac{1-p}{p^2-p+1} + \frac{2}{p-1}\right) : \frac{p-1}{p+1}.

Короткий розв'язок

1) 4x2+2x+1(2x−1)(4x2+2x+1)⋅4x2−4x+12x(2x+1)=12x−1⋅(2x−1)22x(2x+1)=2x−12x(2x+1)\frac{4x^2+2x+1}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \cdot \frac{4x^2-4x+1}{2x(2x+1)} = \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)} = \frac{2x-1}{2x(2x+1)}

2) (p−1)24⋅(−2pp2−1+2(p+1)p2−1):p−1p+1=(p−1)24⋅2p2−1⋅p+1p−1=12\frac{(p-1)^2}{4} \cdot \left(\frac{-2p}{p^2-1} + \frac{2(p+1)}{p^2-1}\right) : \frac{p-1}{p+1} = \frac{(p-1)^2}{4} \cdot \frac{2}{p^2-1} \cdot \frac{p+1}{p-1} = \frac{1}{2}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для спрощення цих виразів ми будемо виконувати дії по черзі, дотримуючись їх пріоритету (спочатку в дужках, потім множення та ділення). Будуть застосовані формули скороченого множення, зокрема різниця кубів та сума кубів, а також зведення дробів до спільного знаменника.

1) (8x2+2x8x3−1−2x+14x2+2x+1)⋅(1+2x+12x−4x2+10x4x2+2x)\left(\frac{8x^2+2x}{8x^3-1} - \frac{2x+1}{4x^2+2x+1}\right) \cdot \left(1 + \frac{2x+1}{2x} - \frac{4x^2+10x}{4x^2+2x}\right)

Виконаємо дії в перших дужках. Розкладемо знаменник 8x3−1=(2x−1)(4x2+2x+1)8x^3-1 = (2x-1)(4x^2+2x+1):

8x2+2x(2x−1)(4x2+2x+1)−2x+14x2+2x+1= \frac{8x^2+2x}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} - \frac{2x+1}{4x^2+2x+1} =
=8x2+2x−(2x+1)(2x−1)(2x−1)(4x2+2x+1)== \frac{8x^2+2x - (2x+1)(2x-1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} =
=8x2+2x−(4x2−1)8x3−1= = \frac{8x^2+2x - (4x^2-1)}{8x^3-1} =
=4x2+2x+18x3−1=4x2+2x+1(2x−1)(4x2+2x+1)=12x−1= \frac{4x^2+2x+1}{8x^3-1} = \frac{4x^2+2x+1}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} = \frac{1}{2x-1}

Тепер виконаємо дії в других дужках. Спільний знаменник 4x2+2x=2x(2x+1)4x^2+2x = 2x(2x+1):

1+2x+12x−4x2+10x2x(2x+1)=2x(2x+1)+(2x+1)2−(4x2+10x)2x(2x+1)= 1 + \frac{2x+1}{2x} - \frac{4x^2+10x}{2x(2x+1)} = \frac{2x(2x+1) + (2x+1)^2 - (4x^2+10x)}{2x(2x+1)} =
=4x2+2x+4x2+4x+1−4x2−10x2x(2x+1)= = \frac{4x^2+2x + 4x^2+4x+1 - 4x^2-10x}{2x(2x+1)} =
=4x2−4x+12x(2x+1)=(2x−1)22x(2x+1)= \frac{4x^2-4x+1}{2x(2x+1)} = \frac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)}

Перемножимо результати:

12x−1⋅(2x−1)22x(2x+1)=2x−12x(2x+1) \frac{1}{2x-1} \cdot \frac{(2x-1)^2}{2x(2x+1)} = \frac{2x-1}{2x(2x+1)}

2) p2−2p+14⋅(2pp3+1:1−pp2−p+1+2p−1):p−1p+1\frac{p^2-2p+1}{4} \cdot \left(\frac{2p}{p^3+1} : \frac{1-p}{p^2-p+1} + \frac{2}{p-1}\right) : \frac{p-1}{p+1}

Спочатку виконаємо ділення в дужках, розклавши p3+1=(p+1)(p2−p+1)p^3+1=(p+1)(p^2-p+1):

2p(p+1)(p2−p+1):−(p−1)p2−p+1= \frac{2p}{(p+1)(p^2-p+1)} : \frac{-(p-1)}{p^2-p+1} =
=2p(p+1)(p2−p+1)⋅p2−p+1−(p−1)=−2p(p+1)(p−1)= \frac{2p}{(p+1)(p^2-p+1)} \cdot \frac{p^2-p+1}{-(p-1)} = \frac{-2p}{(p+1)(p-1)}

Тепер додавання в дужках:

−2p(p+1)(p−1)+2p−1= \frac{-2p}{(p+1)(p-1)} + \frac{2}{p-1} =
=−2p+2(p+1)(p+1)(p−1)=−2p+2p+2(p+1)(p−1)=2p2−1=\frac{-2p + 2(p+1)}{(p+1)(p-1)} = \frac{-2p+2p+2}{(p+1)(p-1)} = \frac{2}{p^2-1}

Зберемо весь вираз. Перший дріб це (p−1)2/4(p-1)^2/4:

(p−1)24⋅2p2−1:p−1p+1=(p−1)24⋅2(p−1)(p+1)⋅p+1p−1= \frac{(p-1)^2}{4} \cdot \frac{2}{p^2-1} : \frac{p-1}{p+1} = \frac{(p-1)^2}{4} \cdot \frac{2}{(p-1)(p+1)} \cdot \frac{p+1}{p-1} =

Скорочуємо однакові множники в чисельнику і знаменнику:

=(p−1)2⋅2⋅(p+1)4⋅(p−1)(p+1)⋅(p−1)=2⋅(p−1)2⋅(p+1)4⋅(p−1)2⋅(p+1)=24=12 = \frac{(p-1)^2 \cdot 2 \cdot (p+1)}{4 \cdot (p-1)(p+1) \cdot (p-1)} = \frac{2 \cdot (p-1)^2 \cdot (p+1)}{4 \cdot (p-1)^2 \cdot (p+1)} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}