ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1162

Розглянемо випадок $x < 0$: всі доданки $x^8, -x^5, x^2, -x, 1$ будуть додатними, отже сума > 0.

Розглянемо випадок $0 \le x < 1$: групуємо $x^8 + (x^2 - x^5) + (1 - x)$. Оскільки $x^2 \ge x^5$ та $1 > x$, то сума > 0.

Розглянемо випадок $x \ge 1$: групуємо $(x^8 - x^5) + (x^2 - x) + 1$. Оскільки $x^8 \ge x^5$ та $x^2 \ge x$, то сума > 0.

Для будь-якого $x$ вираз > 0. Доведено.

• Інтервал $x < 0$: Парні степені $x^8, x^2$ завжди додатні. Непарні степені $x^5, x$ при від'ємному $x$ є від'ємними, тому вирази $-x^5$ та $-x$ стають додатними. Сума додатних чисел та одиниці завжди більша за нуль.
• Інтервал $[0; 1)$: Тут $x^2$ більше за $x^5,$ тому їхня різниця додатна. Також $1$ більше за $x,$ тому різниця $1-x$ також додатна. Увесь вираз складається з невід'ємних та додатних частин.
• Інтервал $[1; +\infty)$: При великих $x$ вищий степінь завжди "переважає" нижчий. Різниця $x^8 - x^5$ та $x^2 - x$ є невід'ємними. Додавання одиниці гарантує результат більше нуля.