ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1218
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О.С. Істер.
Умова вправи № 1218
Якщо добуток чотирьох послідовних натуральних чисел збільшити на 1, то він дорівнюватиме квадрату деякого натурального числа. Доведіть це.
Розв'язок вправи № 1218
Коротке рішення
Нехай чотири послідовні натуральні числа: $n, n+1, n+2, n+3.$
Складемо вираз: $n(n+1)(n+2)(n+3) + 1.$
Згрупуємо множники (перший з четвертим, другий з третім):
$[n(n+3)] \cdot [(n+1)(n+2)] + 1 = (n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1.$
Нехай $n^2 + 3n = x,$ тоді вираз набуває вигляду:
$x(x + 2) + 1 = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.$
Підставимо $x$ назад: $(n^2 + 3n + 1)^2.$
Оскільки $n$ — натуральне число, то $n^2 + 3n + 1$ також є натуральним числом. Доведено.
Детальне рішення
Ключ до розв'язання: Для доведення ми використовуємо метод заміни змінної та формулу квадрата суми. Головна хитрість полягає в правильному групуванні дужок перед множенням.
Давайте перевіримо це на числах: наприклад, $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 + 1 = 25$ (це $5^2$). Математика дозволяє довести, що це працює завжди. Ми позначаємо наші числа як ланцюжок: $n, n+1, n+2, n+3.$ Щоб не заплутатися в розрахунках, ми множимо самі крайні числа ($n$ та $n+3$) і середні дужки між собою. Це дає нам два дуже схожі вирази: $n^2 + 3n$ та $n^2 + 3n + 2.$ Помічаєте, що вони відрізняються лише на двійку? Ми замінюємо великий вираз $n^2 + 3n$ однією буквою $x.$ Тепер наш приклад перетворюється на красиву формулу $x^2 + 2x + 1,$ яка за правилами алгебри згортається в ідеальний квадрат $(x+1)^2.$ Оскільки ми отримали вираз у квадраті, твердження повністю доведене.
Коментування доступне тільки зареєстрованим
Будь ласка, увійдіть через Google, щоб залишити коментар.