ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 263

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 263

Чи існує таке значення x, для якого:

$$1) -x \ge |x|;$$

$$2) x > |x|?$$

Розв'язок вправи № 263

Короткий розв'язок

$$1) \text{При } x \ge 0: -x \ge x \implies 0 \ge 2x \implies x \le 0. \text{ Отже, } x=0.$$

$$\text{При } x < 0: -x \ge -x. \text{ Вірно для всіх } x < 0.$$

$$\text{Відповідь: Так, існує. Це будь-яке недодатне число } (x \le 0).$$

$$2) \text{При } x \ge 0: x > x. \text{ Неможливо.}$$

$$\text{При } x < 0: x > -x \implies 2x > 0 \implies x > 0. \text{ Суперечність.}$$

$$\text{Відповідь: Ні, не існує.}$$

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Для аналізу нерівностей, що містять модуль, необхідно розглядати два можливі випадки. Перший — коли підмодульний вираз невід'ємний, і другий — коли він від'ємний. Принципи розкриття модуля є основою для розв'язання таких рівнянь та нерівностей.

1) Розглянемо нерівність $-x \ge |x|$

Нам потрібно перевірити, чи існують такі значення x, що задовольняють цю умову. Для цього розглянемо два випадки, залежно від знака x.

Випадок 1.1: $x \ge 0$

Якщо x є невід'ємним числом, то за визначенням модуля $|x| = x$. Підставимо це у нашу нерівність:

$$-x \ge x$$

Перенесемо x з правої частини в ліву:

$$-x - x \ge 0$$

$$-2x \ge 0$$

Поділимо обидві частини на -2, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний:

$$x \le 0$$

Ми маємо дві умови для x: $x \ge 0$ (наше припущення) та $x \le 0$ (результат). Єдине число, яке задовольняє обидві умови одночасно, це x = 0.

Випадок 1.2: $x < 0$

Якщо x є від'ємним числом, то за визначенням модуля $|x| = -x$. Підставимо це у нерівність:

$$-x \ge -x$$

Ця нерівність є правильною для будь-якого значення x. Отже, у цьому випадку розв'язком є всі числа, що задовольняють умову нашого припущення, тобто всі $x < 0$.

Об'єднавши результати обох випадків (x = 0 та $x < 0$), робимо висновок, що нерівність виконується для всіх недодатних чисел.

Відповідь: Так, існує. Це може бути будь-яке недодатне число ($x \le 0$).

2) Розглянемо нерівність $x > |x|$

Аналогічно, розглянемо два випадки.

Випадок 2.1: $x \ge 0$

При $x \ge 0$ маємо $|x| = x$. Нерівність набуває вигляду:

$$x > x$$

Ця нерівність є хибною, оскільки жодне число не може бути строго більшим за себе. Отже, для $x \ge 0$ розв'язків немає.

Випадок 2.2: $x < 0$

При $x < 0$ маємо $|x| = -x$. Нерівність набуває вигляду:

$$x > -x$$

Перенесемо -x в ліву частину:

$$x + x > 0$$

$$2x > 0$$

Поділимо обидві частини на 2:

$$x > 0$$

Ми отримали суперечність: наше припущення було $x < 0$, а результат вимагає $x > 0$. Неможливо, щоб число було одночасно від'ємним і додатним. Отже, для $x < 0$ розв'язків також немає.

Оскільки жоден з можливих випадків не дає розв'язків, то не існує такого значення x, для якого ця нерівність виконується.

Відповідь: Ні, такого значення x не існує.