ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 455

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Умова вправи № 455

Оберіть ті многочлени, значення яких є додатними для будь-яких значень змінних; є від’ємними для будь-яких значень змінних:

$a^4 + 3a^2 + 5$;
$c^5 + c^3 + c$;
$-p^2 - 7$;
$-m^2 - m^2n^2 - n^2 - 9$;
$-a - b - 7$;
$x^8 + y^6 + c^4 + 1$.

Розв'язок вправи № 455

Коротке рішення

1) $a^4 \ge 0, 3a^2 \ge 0 \implies a^4 + 3a^2 + 5 \ge 5 > 0$

Відповідь: додатний.

2) $c^5, c^3, c$ — непарні степені, можуть набувати будь-яких знаків

Відповідь: не є стало від'ємним або додатним.

3) $-p^2 \le 0 \implies -p^2 - 7 \le -7 < 0$

Відповідь: від'ємний.

4) $-m^2 \le 0, -m^2n^2 \le 0, -n^2 \le 0 \implies -m^2 - m^2n^2 - n^2 - 9 \le -9 < 0$

Відповідь: від'ємний.

5) $-a, -b$ — лінійні члени, можуть набувати будь-яких знаків

Відповідь: не є стало від'ємним або додатним.

6) $x^8 \ge 0, y^6 \ge 0, c^4 \ge 0 \implies x^8 + y^6 + c^4 + 1 \ge 1 > 0$

Відповідь: додатний.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Знаки значень многочленів визначаються властивостями степенів. Парний степінь числа завжди невід'ємний ($a^{2n} \ge 0$), а непарний степінь зберігає знак основи. Теорія: Степінь з натуральним показником.

У пунктах 1 та 6 ми маємо суму парних степенів та додатного числа. Оскільки парні степені не можуть бути меншими за 0, весь вираз завжди буде більшим за 0 (додатним).
У пунктах 3 та 4 ситуація протилежна: ми маємо від'ємні парні степені (перед якими стоїть мінус) та від'ємне число. Такий вираз завжди буде меншим за 0 (від'ємним).
У пунктах 2 та 5 наявні змінні у непарних степенях або в першому степені. Це означає, що знак виразу залежить від того, яке саме число ми підставимо замість змінної.