ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №2.18
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 2.18
Зведіть дріб:
1) $\frac{5}{a-b}$ до знаменника $a^2-ab$;
2) $\frac{4}{m+n}$ до знаменника $m^2+2mn+n^2$;
3) $\frac{9}{x-y}$ до знаменника $x^2-y^2$;
4) $\frac{4}{k-1}$ до знаменника $k^3-1$;
5) $\frac{a}{a-b}$ до знаменника $b-a$;
6) $\frac{p}{p-2}$ до знаменника $4-p^2$.
Розв'язок вправи № 2.18
Короткий розв'язок
1) $\frac{5a}{a(a-b)} = \frac{5a}{a^2-ab}$
2) $\frac{4(m+n)}{(m+n)(m+n)} = \frac{4(m+n)}{(m+n)^2}$
3) $\frac{9(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{9(x+y)}{x^2-y^2}$
4) $\frac{4(k^2+k+1)}{(k-1)(k^2+k+1)} = \frac{4(k^2+k+1)}{k^3-1}$
5) $\frac{a \cdot (-1)}{(a-b) \cdot (-1)} = \frac{-a}{b-a}$
6) $\frac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \frac{-p(p+2)}{4-p^2}$
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: щоб звести дріб до нового знаменника, потрібно знайти додатковий множник. Для цього новий знаменник ділять на початковий. Потім чисельник і знаменник початкового дробу множать на цей додатковий множник, спираючись на основну властивість дробу.
1) Новий знаменник $a^2-ab=a(a-b)$. Додатковий множник: $\frac{a(a-b)}{a-b}=a$.
$\frac{5}{a-b} = \frac{5 \cdot a}{(a-b) \cdot a} = \frac{5a}{a^2-ab}$
2) Новий знаменник $m^2+2mn+n^2=(m+n)^2$. Додатковий множник: $\frac{(m+n)^2}{m+n}=m+n$.
$\frac{4}{m+n} = \frac{4(m+n)}{(m+n)(m+n)} = \frac{4(m+n)}{(m+n)^2}$
3) Новий знаменник $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$. Додатковий множник: $\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y$.
$\frac{9}{x-y} = \frac{9(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{9(x+y)}{x^2-y^2}$
4) Новий знаменник $k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)$. Додатковий множник: $k^2+k+1$.
$\frac{4}{k-1} = \frac{4(k^2+k+1)}{(k-1)(k^2+k+1)} = \frac{4(k^2+k+1)}{k^3-1}$
5) Новий знаменник $b-a=-(a-b)$. Додатковий множник: $-1$.
$\frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-b) \cdot (-1)} = \frac{-a}{b-a}$
6) Новий знаменник $4-p^2=(2-p)(2+p)=-(p-2)(p+2)$. Додатковий множник: $-(p+2)$.
$\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \frac{-p(p+2)}{-(p-2)(p+2)} = \frac{-p(p+2)}{(2-p)(p+2)} = \frac{-p^2-2p}{4-p^2}$
