До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №2.18

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 2.18

Зведіть дріб:

1) 5a−b\frac{5}{a-b} до знаменника a2−aba^2-ab;

2) 4m+n\frac{4}{m+n} до знаменника m2+2mn+n2m^2+2mn+n^2;

3) 9x−y\frac{9}{x-y} до знаменника x2−y2x^2-y^2;

4) 4k−1\frac{4}{k-1} до знаменника k3−1k^3-1;

5) aa−b\frac{a}{a-b} до знаменника b−ab-a;

6) pp−2\frac{p}{p-2} до знаменника 4−p24-p^2.

Розв'язок вправи № 2.18

Короткий розв'язок

1) 5aa(a−b)=5aa2−ab\frac{5a}{a(a-b)} = \frac{5a}{a^2-ab}

2) 4(m+n)(m+n)(m+n)=4(m+n)(m+n)2\frac{4(m+n)}{(m+n)(m+n)} = \frac{4(m+n)}{(m+n)^2}

3) 9(x+y)(x−y)(x+y)=9(x+y)x2−y2\frac{9(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{9(x+y)}{x^2-y^2}

4) 4(k2+k+1)(k−1)(k2+k+1)=4(k2+k+1)k3−1\frac{4(k^2+k+1)}{(k-1)(k^2+k+1)} = \frac{4(k^2+k+1)}{k^3-1}

5) a⋅(−1)(a−b)⋅(−1)=−ab−a\frac{a \cdot (-1)}{(a-b) \cdot (-1)} = \frac{-a}{b-a}

6) p⋅(−(p+2))(p−2)⋅(−(p+2))=−p(p+2)4−p2\frac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \frac{-p(p+2)}{4-p^2}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: щоб звести дріб до нового знаменника, потрібно знайти додатковий множник. Для цього новий знаменник ділять на початковий. Потім чисельник і знаменник початкового дробу множать на цей додатковий множник, спираючись на основну властивість дробу.

1) Новий знаменник a2−ab=a(a−b)a^2-ab=a(a-b). Додатковий множник: a(a−b)a−b=a\frac{a(a-b)}{a-b}=a.
5a−b=5⋅a(a−b)⋅a=5aa2−ab\frac{5}{a-b} = \frac{5 \cdot a}{(a-b) \cdot a} = \frac{5a}{a^2-ab}

2) Новий знаменник m2+2mn+n2=(m+n)2m^2+2mn+n^2=(m+n)^2. Додатковий множник: (m+n)2m+n=m+n\frac{(m+n)^2}{m+n}=m+n.
4m+n=4(m+n)(m+n)(m+n)=4(m+n)(m+n)2\frac{4}{m+n} = \frac{4(m+n)}{(m+n)(m+n)} = \frac{4(m+n)}{(m+n)^2}

3) Новий знаменник x2−y2=(x−y)(x+y)x^2-y^2=(x-y)(x+y). Додатковий множник: (x−y)(x+y)x−y=x+y\frac{(x-y)(x+y)}{x-y}=x+y.
9x−y=9(x+y)(x−y)(x+y)=9(x+y)x2−y2\frac{9}{x-y} = \frac{9(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{9(x+y)}{x^2-y^2}

4) Новий знаменник k3−1=(k−1)(k2+k+1)k^3-1=(k-1)(k^2+k+1). Додатковий множник: k2+k+1k^2+k+1.
4k−1=4(k2+k+1)(k−1)(k2+k+1)=4(k2+k+1)k3−1\frac{4}{k-1} = \frac{4(k^2+k+1)}{(k-1)(k^2+k+1)} = \frac{4(k^2+k+1)}{k^3-1}

5) Новий знаменник b−a=−(a−b)b-a=-(a-b). Додатковий множник: −1-1.
aa−b=a⋅(−1)(a−b)⋅(−1)=−ab−a\frac{a}{a-b} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-b) \cdot (-1)} = \frac{-a}{b-a}

6) Новий знаменник 4−p2=(2−p)(2+p)=−(p−2)(p+2)4-p^2=(2-p)(2+p)=-(p-2)(p+2). Додатковий множник: −(p+2)-(p+2).
pp−2=p⋅(−(p+2))(p−2)⋅(−(p+2))=−p(p+2)−(p−2)(p+2)=−p(p+2)(2−p)(p+2)=−p2−2p4−p2\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-(p+2))}{(p-2) \cdot (-(p+2))} = \frac{-p(p+2)}{-(p-2)(p+2)} = \frac{-p(p+2)}{(2-p)(p+2)} = \frac{-p^2-2p}{4-p^2}