ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №2.23

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 2.23

Скоротіть дріб:

1) $\frac{(m+5)^2+(m-5)^2}{m^2+25}$ ; 2) $\frac{a^4-b^4}{a^3+b^3}$ ; 3) $\frac{6m+2n}{(12m+4n)^2}$ .

Розв'язок вправи № 2.23

Короткий розв'язок

1) $\frac{m^2+10m+25+m^2-10m+25}{m^2+25} = \frac{2m^2+50}{m^2+25} = \frac{2(m^2+25)}{m^2+25} = 2$

2) $\frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a-b)(a+b)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2-ab+b^2}$

3) $\frac{2(3m+n)}{(4(3m+n))^2} = \frac{2(3m+n)}{16(3m+n)^2} = \frac{1}{8(3m+n)}$

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для скорочення цих дробів потрібно розкласти чисельник і знаменник на множники. Використовуйте формули скороченого множення (квадрат суми, різниця квадратів, сума кубів) та винесення спільного множника за дужки.

1) Розкриємо квадрати суми та різниці в чисельнику:

\frac{(m+5)^2+(m-5)^2}{m^2+25} = \frac{(m^2+10m+25)+(m^2-10m+25)}{m^2+25} =

Зведемо подібні доданки в чисельнику:

= \frac{2m^2+50}{m^2+25} =

Винесемо спільний множник 2 за дужки і скоротимо дріб:

= \frac{2(m^2+25)}{m^2+25} = 2

2) Розкладемо чисельник і знаменник за формулами різниці квадратів та суми кубів:

\frac{a^4-b^4}{a^3+b^3} = \frac{(a^2-b^2)(a^2+b^2)}{(a+b)(a^2-ab+b^2)} =

Ще раз розкладемо вираз $(a^2-b^2)$ і скоротимо спільний множник $(a+b)$ :

= \frac{(a-b)\cancel{(a+b)}(a^2+b^2)}{\cancel{(a+b)}(a^2-ab+b^2)} = \frac{(a-b)(a^2+b^2)}{a^2-ab+b^2}

3) Винесемо спільні множники за дужки в чисельнику та знаменнику:

\frac{6m+2n}{(12m+4n)^2} = \frac{2(3m+n)}{(4(3m+n))^2} =

Піднесемо знаменник до квадрата і скоротимо дріб:

= \frac{2(3m+n)}{16(3m+n)^2} = \frac{\cancel{2}\cancel{(3m+n)}}{\cancel{16}_8(3m+n)^{\cancel{2}}} = \frac{1}{8(3m+n)}