ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №2.22

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 2.22

Скоротіть дріб:

1) $\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{48x}$; 2) $\frac{x^3-y^3}{x^4-y^4}$; 3) $\frac{(3b-9c)^2}{5b-15c}$.

Розв'язок вправи № 2.22

Короткий розв'язок

1) $\frac{(x+2-x+2)(x+2+x-2)}{48x} = \frac{4 \cdot 2x}{48x} = \frac{8x}{48x} = \frac{1}{6}$

2) $\frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{x^2+xy+y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}$

3) $\frac{(3(b-3c))^2}{5(b-3c)} = \frac{9(b-3c)^2}{5(b-3c)} = \frac{9(b-3c)}{5}$

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для скорочення цих дробів активно використовуйте формули скороченого множення: різницю квадратів ($a^2-b^2$), різницю кубів ($a^3-b^3$) та винесення спільного множника за дужки.

1) У чисельнику застосуємо формулу різниці квадратів $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$, де $a=x+2$, $b=x-2$:

$$\frac{(x+2)^2-(x-2)^2}{48x} = \frac{((x+2)-(x-2))((x+2)+(x-2))}{48x} =$$

$$= \frac{(x+2-x+2)(x+2+x-2)}{48x} = \frac{4 \cdot 2x}{48x} = \frac{8x}{48x} = \frac{1}{6}$$

2) Розкладемо чисельник за формулою різниці кубів, а знаменник — двічі за формулою різниці квадратів:

$$\frac{x^3-y^3}{x^4-y^4} = \frac{(x-y)(x^2+xy+y^2)}{(x^2-y^2)(x^2+y^2)} =$$

$$= \frac{\cancel{(x-y)}(x^2+xy+y^2)}{\cancel{(x-y)}(x+y)(x^2+y^2)} = \frac{x^2+xy+y^2}{(x+y)(x^2+y^2)}$$

3) Винесемо спільні множники за дужки в чисельнику та знаменнику:

$$\frac{(3b-9c)^2}{5b-15c} = \frac{(3(b-3c))^2}{5(b-3c)} = \frac{9(b-3c)^2}{5(b-3c)} =$$

$$= \frac{9\cancel{(b-3c)^2}}{5\cancel{(b-3c)}} = \frac{9(b-3c)}{5}$$