ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №2.19
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 2.19
Знайдіть область визначення виразу:
1) $\frac{12}{x(x+2)-4x-8}$; 2) $\frac{m}{4-|m|}$;
3) $\frac{7}{\frac{1}{x}+1}$; 4) $\frac{2a}{|a+2|-3}$.
Розв'язок вправи № 2.19
Короткий розв'язок
1) $x(x+2)-4(x+2) \neq 0 \implies (x-4)(x+2) \neq 0 \implies x \neq 4, x \neq -2$.
2) $4-|m| \neq 0 \implies |m| \neq 4 \implies m \neq \pm 4$.
3) $\frac{1+x}{x} \neq 0 \implies 1+x \neq 0, x \neq 0 \implies x \neq -1, x \neq 0$.
4) $|a+2|-3 \neq 0 \implies |a+2| \neq 3 \implies a+2 \neq 3, a+2 \neq -3 \implies a \neq 1, a \neq -5$.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: область визначення виразу — це всі значення змінної, при яких вираз має зміст. Для дробів це означає, що знаменник не може дорівнювати нулю. Детальніше про допустимі значення змінної.
1) Знаменник не може дорівнювати нулю: $x(x+2)-4x-8 \neq 0$. Розкладемо його на множники: $x(x+2)-4(x+2) \neq 0 \implies (x-4)(x+2) \neq 0$. Отже, $x \neq 4$ і $x \neq -2$.
2) Знаменник не може дорівнювати нулю: $4-|m| \neq 0 \implies |m| \neq 4$. Це означає, що $m \neq 4$ і $m \neq -4$.
3) Тут маємо два обмеження: знаменник внутрішнього дробу ($x$) не дорівнює нулю, і знаменник основного дробу ($\frac{1}{x}+1$) не дорівнює нулю. $\frac{1}{x}+1 \neq 0 \implies \frac{1+x}{x} \neq 0 \implies 1+x \neq 0$. Отже, $x \neq 0$ і $x \neq -1$.
4) Знаменник не може дорівнювати нулю: $|a+2|-3 \neq 0 \implies |a+2| \neq 3$. Це рівняння розпадається на два: $a+2 \neq 3$ і $a+2 \neq -3$. Звідси $a \neq 1$ і $a \neq -5$.
