До змісту

ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 1178

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О.С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 1178

Чи має система розв’язки і скільки:

1) {x+y=7,3x−y=0;\begin{cases} x + y = 7, \\ 3x - y = 0; \end{cases}
2) {x−2y=5,2x−4y=7;\begin{cases} x - 2y = 5, \\ 2x - 4y = 7; \end{cases}
3) {x=2y,1,5x−3y=0?\begin{cases} x = 2y, \\ 1,5x - 3y = 0? \end{cases}

Розв'язок вправи № 1178

Коротке рішення

1) 13≠1−1  ⟹  \frac{1}{3} \neq \frac{1}{-1} \implies коефіцієнти при змінних не пропорційні, система має один розв'язок.

2) 12=−2−4≠57  ⟹  \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} \neq \frac{5}{7} \implies ліві частини рівнянь пропорційні, а праві ні. Система не має розв'язків.

3) {x−2y=0,1,5x−3y=0  ⟹  11,5=−2−3=00  ⟹  \begin{cases} x - 2y = 0, \\ 1,5x - 3y = 0 \end{cases} \implies \frac{1}{1,5} = \frac{-2}{-3} = \frac{0}{0} \implies рівняння ідентичні, система має безліч розв'язків.

Відповідь: 1) один; 2) немає; 3) безліч.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Дослідження кількості розв'язків базується на аналізі пропорційності коефіцієнтів системи. Якщо відношення коефіцієнтів при xx та yy різні — прямі перетинаються; якщо вони рівні, але не рівні відношенню вільних членів — прямі паралельні; якщо рівні всі відношення — прямі збігаються.

У першому прикладі прямі мають різні кутові коефіцієнти, тому вони обов'язково перетнуться в одній точці. У другому пункті ми бачимо, що коефіцієнти другого рівняння рівно у 2 рази більші за коефіцієнти першого (1⋅2=21 \cdot 2 = 2 та −2⋅2=−4-2 \cdot 2 = -4), проте для вільних членів ця пропорція не справджується (5⋅2=10≠75 \cdot 2 = 10 \neq 7). Це означає, що прямі паралельні. У третьому випадку ми перетворили рівняння на стандартний вигляд. Помноживши перше рівняння на 1,5, ми отримуємо друге рівняння. Оскільки рівняння ідентичні, будь-яка точка однієї прямої є розв'язком іншої, що дає нескінченну кількість розв'язків.