ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 214
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 214
З'ясуйте, чи є рівносильними рівняння:
1) $|x| = 2$ і $x(x + 2) = 0$;
2) $|x| = 4$ і $x^2 = 16$.
Розв'язок вправи № 214
Короткий розв'язок
1) $|x| = 2 \Rightarrow x = 2$ або $x = -2$.
$x(x+2) = 0 \Rightarrow x = 0$ або $x = -2$.
Корені не співпадають. Рівняння не є рівносильними.
2) $|x| = 4 \Rightarrow x = 4$ або $x = -4$.
$x^2 = 16 \Rightarrow x = 4$ або $x = -4$.
Корені співпадають. Рівняння є рівносильними.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Рівняння називаються рівносильними, якщо вони мають однакові корені або не мають коренів взагалі. Щоб це перевірити, потрібно знайти корені кожного рівняння і порівняти множини їх розв'язків. Дізнайтеся більше про визначення рівносильних рівнянь.
1) $|x| = 2$ і $x(x + 2) = 0$
Знайдемо корені першого рівняння $|x| = 2$.
За означенням модуля, це рівняння має два корені: $x_1 = 2$ і $x_2 = -2$.
Знайдемо корені другого рівняння $x(x + 2) = 0$.
Добуток дорівнює нулю, коли один із множників дорівнює нулю:
$x = 0$ або $x + 2 = 0$, звідки $x = -2$.
Отже, друге рівняння має корені: $x_3 = 0$ і $x_4 = -2$.
Множини коренів $\{2, -2\}$ і $\{0, -2\}$ не співпадають. Тому рівняння не є рівносильними.
2) $|x| = 4$ і $x^2 = 16$
Знайдемо корені першого рівняння $|x| = 4$.
Це рівняння має два корені: $x_1 = 4$ і $x_2 = -4$.
Знайдемо корені другого рівняння $x^2 = 16$.
Це рівняння також має два корені: $x_3 = \sqrt{16} = 4$ і $x_4 = -\sqrt{16} = -4$.
Множини коренів $\{4, -4\}$ і $\{4, -4\}$ повністю співпадають. Тому ці рівняння є рівносильними.
