ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 215
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 215
Чи є правильним твердження: «Якщо кожен корінь одного рівняння є коренем іншого, то ці рівняння рівносильні»?
Розв'язок вправи № 215
Короткий розв'язок
Ні, твердження не є правильним. Наприклад, рівняння $x-2=0$ має корінь $x=2$. Рівняння $x(x-2)=0$ має корені $x=0$ та $x=2$. Корінь першого рівняння є коренем другого, але друге має ще один корінь, тому рівняння не рівносильні.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Важливо розуміти точне визначення рівносильності. Рівняння рівносильні, якщо множини їхніх коренів повністю збігаються. Недостатньо, щоб корені одного рівняння були лише частиною (підмножиною) коренів іншого. Дізнайтеся більше про рівносильні рівняння.
Твердження є неправильним.
Пояснення: для того, щоб рівняння були рівносильними, необхідно, щоб не тільки кожен корінь першого рівняння був коренем другого, але й навпаки — кожен корінь другого рівняння має бути коренем першого. Іншими словами, множини їхніх коренів повинні бути ідентичними.
Наведемо контрприклад, який спростовує це твердження.
Розглянемо два рівняння:
Рівняння 1: $x - 2 = 0$. Його єдиний корінь $x = 2$.
Рівняння 2: $(x - 2)(x - 3) = 0$. Його корені $x = 2$ та $x = 3$.
Кожен корінь першого рівняння (а саме число 2) є коренем другого рівняння. Однак друге рівняння має корінь $x = 3$, якого немає у першого рівняння. Оскільки множини коренів $\{2\}$ та $\{2, 3\}$ не є однаковими, ці рівняння не є рівносильними.
Висновок: Правильним є твердження: «Якщо кожен корінь першого рівняння є коренем другого, і кожен корінь другого рівняння є коренем першого, то ці рівняння рівносильні».
