ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 297

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Умова вправи № 297

У чемпіонаті міста з футболу беруть участь 11 команд. Кожна команда грає з іншими по одному матчу. Доведіть, що в будь-який момент змагань знайдеться команда, яка до цього моменту провела або парну кількість матчів, або ще не провела жодного.

Розв'язок вправи № 297

Короткий розв'язок

Доведення від супротивного. Припустимо, що в певний момент кожна з 11 команд провела непарну кількість матчів. Тоді сума зіграних матчів усіма командами буде сумою 11 непарних чисел, що є непарним числом. Але ця сума має бути парною, бо кожен матч рахується двічі (для обох команд). Отримали суперечність. Отже, припущення хибне, і знайдеться команда, що зіграла парну кількість матчів (0 — також парне число).

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Це класична задача з теорії графів, яка вирішується методом доведення від супротивного та використовує властивості парності. Основна ідея полягає в тому, що сума кількостей матчів, які зіграла кожна команда, завжди є парним числом, оскільки кожен матч враховується одночасно у двох команд.

Зауважимо, що "не провела жодного матчу" означає, що команда провела 0 матчів. Число 0 є парним числом. Тому умову задачі можна переформулювати так: "Доведіть, що в будь-який момент змагань знайдеться команда, яка провела парну кількість матчів".

Скористаємося методом доведення від супротивного.

Припущення: припустимо, що існує такий момент у змаганнях, коли кожна з 11 команд провела непарну кількість матчів.

Нехай $m_1, m_2, m_3, ..., m_{11}$ — кількість матчів, які провела кожна з 11 команд на цей момент.

За нашим припущенням, кожне з чисел $m_1, m_2, ..., m_{11}$ є непарним.

Знайдемо загальну суму зіграних матчів, просумувавши матчі кожної команди:

$M = m_1 + m_2 + m_3 + ... + m_{11}$

Ми додаємо 11 непарних чисел. З арифметики відомо, що сума непарної кількості непарних чисел є непарним числом. Оскільки команд 11 (непарне число), то загальна сума M буде непарним числом.

З іншого боку, давайте подивимось на цю суму M інакше. Коли ми підсумовуємо матчі, зіграні кожною командою, кожен реальний матч (наприклад, між Командою А і Командою Б) враховується двічі: один раз для Команди А і один раз для Команди Б. Отже, загальна сума M повинна дорівнювати подвоєній кількості фактично зіграних матчів. Якщо K — це кількість матчів, що відбулися, то M = 2K.

Число 2K, за означенням, є парним для будь-якого цілого K.

Суперечність: Ми дійшли висновку, що число M має бути одночасно і непарним (як сума 11 непарних доданків), і парним (оскільки кожен матч рахується двічі). Це неможливо.

Висновок: Наше початкове припущення було хибним. Отже, не може бути такого моменту, коли всі 11 команд провели непарну кількість матчів. Це означає, що в будь-який момент змагань обов'язково знайдеться хоча б одна команда, яка провела парну кількість матчів (включаючи 0).

Доведено.