ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 331
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 331
Доведіть ознаку подільності на 4: натуральне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли число, записане його двома останніми цифрами, ділиться на 4.
Розв'язок вправи № 331
Короткий розв'язок
Будь-яке натуральне число $N$ можна подати у вигляді $N = 100a + b$, де $b$ — число, утворене двома останніми цифрами $N$. Оскільки $100a$ завжди ділиться на 4, подільність $N$ на 4 повністю залежить від подільності $b$ на 4.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Доведення ґрунтується на представленні будь-якого натурального числа у вигляді суми двох доданків. Один доданок — це число, що складається з сотень, тисяч і т.д. (і тому завжди ділиться на 100), а другий — це число, утворене двома останніми цифрами. Оскільки 100 ділиться на 4, подільність всієї суми залежить лише від подільності другого доданка.
Нехай $N$ — довільне натуральне число, яке має більше двох цифр. Його можна подати у вигляді:
де $a_1$ — остання цифра (одиниці), $a_2$ — передостання (десятки) і так далі.
Це число можна розписати як суму розрядних доданків. Ми можемо згрупувати їх так:
Позначимо $A = \overline{a_{n}a_{n-1}...a_{2}}$ (число, що складається з усіх цифр, крім двох останніх) і $B = \overline{a_{1}a_{0}}$ (число, утворене двома останніми цифрами). Тоді наше число $N$ можна записати у вигляді:
Тепер розглянемо подільність цієї суми на 4.
Перший доданок, $100 \cdot A$, завжди ділиться на 4, оскільки один з його множників (100) ділиться на 4 ($100 = 25 \cdot 4$). Отже, $100 \cdot A = (25 \cdot 4) \cdot A = 4 \cdot (25A)$, що доводить його подільність на 4.
Згідно з властивостями подільності, якщо в сумі двох доданків один з них ділиться на деяке число, то вся сума ділиться на це число тоді і тільки тоді, коли й другий доданок ділиться на це число.
У нашому випадку, оскільки $100 \cdot A$ ділиться на 4, вся сума $N = 100 \cdot A + B$ буде ділитися на 4 тоді і тільки тоді, коли другий доданок, $B$, також ділиться на 4.
А $B$ — це і є число, записане двома останніми цифрами числа $N$. Таким чином, ознаку доведено.
