ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 713

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О.С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 713

Доведіть, що значення виразу:

$8^{10} - 8^9 + 8^8$ кратне числу 152;
$15^4 - 10^4 - 5^4$ ділиться на 80.

Розв'язок вправи № 713

Коротке рішення

1) $8^{10} - 8^9 + 8^8 = 8^8 \cdot (8^2 - 8^1 + 1) = 8^8 \cdot (64 - 8 + 1) = 8^8 \cdot 57 = 8^7 \cdot 8 \cdot 57 = 8^7 \cdot 456.$

Оскільки $456 : 152 = 3$, то вираз кратний 152.

2) $15^4 - 10^4 - 5^4 = (3 \cdot 5)^4 - (2 \cdot 5)^4 - 5^4 = 3^4 \cdot 5^4 - 2^4 \cdot 5^4 - 5^4 = 5^4 \cdot (3^4 - 2^4 - 1) = 5^4 \cdot (81 - 16 - 1) = 5^4 \cdot 64 = 5^3 \cdot 5 \cdot 64 = 5^3 \cdot 320.$

Оскільки $320 : 80 = 4$, то вираз ділиться на 80.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Щоб довести подільність, потрібно перетворити вираз у добуток, де одним із множників буде вказане число або число, що на нього ділиться. Для цього ми використовуємо винесення найменшого степеня за дужки. Теорія: Винесення спільного множника та Множення степенів.

У першому прикладі ми винесли за дужки $8^8$. В дужках залишилося $57$. Оскільки $8 \cdot 57 = 456$, а це число ділиться на $152$ без остачі, то і весь вираз кратний $152$.
У другому прикладі ми спочатку розклали основи 15 та 10 на множники, щоб знайти спільну частину $5^4$. Після винесення її за дужки ми отримали число $64$. Добуток $5 \cdot 64 = 320$ чітко ділиться на $80$, що і доводить вимогу задачі.