ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 708

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Доведіть формулу скороченого множення для:

1) $(a + b)^3 = (a + b)^2(a + b) = (a^2 + 2ab + b^2)(a + b) = a^3 + a^2b + 2a^2b + 2ab^2 + b^2a + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3;$

2) $(a - b)^3 = (a - b)^2(a - b) = (a^2 - 2ab + b^2)(a - b) = a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + b^2a - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3.$

Ключ до розв'язання: Доведення базується на представленні куба як добутку квадрата виразу на сам вираз. Для цього ми використовуємо формулу квадрата суми/різниці та правила множення многочлена на многочлен. Теорія: Що таке тотожність.

Для куба суми: розкладаємо $(a + b)^3$ на $(a + b)^2 \cdot (a + b)$. Спочатку підносимо першу дужку до квадрата ($a^2 + 2ab + b^2$), а потім множимо кожен її член на $a$ та на $b$. Зводимо подібні доданки: $a^2b + 2a^2b = 3a^2b$ та $2ab^2 + b^2a = 3ab^2$.
Для куба різниці: діємо аналогічно, розкладаючи вираз на $(a - b)^2 \cdot (a - b)$. Використовуємо квадрат різниці ($a^2 - 2ab + b^2$) і множимо на $(a - b)$. При цьому важливо уважно стежити за знаками: $(-2ab) \cdot (-b) = +2ab^2$, а $b^2 \cdot (-b) = -b^3$.
У результаті ми отримуємо стандартні формули скороченого множення для кубів, які дозволяють швидше виконувати обчислення без довгого перемноження дужок.