ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 830

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О.С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 830

Розкладіть на множники:

$(a + 3)^3 - a^3;$
$(x - 4)^3 + 8;$
$27p^3 - (p + 1)^3;$
$64x^3 + (x - 1)^3.$

Розв'язок вправи № 830

Коротке рішення

1) $(a + 3)^3 - a^3 = (a + 3 - a)((a + 3)^2 + (a + 3)a + a^2) = 3(a^2 + 6a + 9 + a^2 + 3a + a^2) = 3(3a^2 + 9a + 9) = 9(a^2 + 3a + 3);$

2) $(x - 4)^3 + 8 = (x - 4)^3 + 2^3 = (x - 4 + 2)((x - 4)^2 - (x - 4) \cdot 2 + 2^2) = (x - 2)(x^2 - 8x + 16 - 2x + 8 + 4) = (x - 2)(x^2 - 10x + 28);$

3) $27p^3 - (p + 1)^3 = (3p)^3 - (p + 1)^3 = (3p - (p + 1))((3p)^2 + 3p(p + 1) + (p + 1)^2) = (3p - p - 1)(9p^2 + 3p^2 + 3p + p^2 + 2p + 1) = (2p - 1)(13p^2 + 5p + 1);$

4) $64x^3 + (x - 1)^3 = (4x)^3 + (x - 1)^3 = (4x + (x - 1))((4x)^2 - 4x(x - 1) + (x - 1)^2) = (5x - 1)(16x^2 - 4x^2 + 4x + x^2 - 2x + 1) = (5x - 1)(13x^2 + 2x + 1).$

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Для розкладання цих виразів ми застосовуємо формули суми та різниці кубів: $A^3 \pm B^3 = (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2).$ У даному випадку ролі $A$ або $B$ відіграють цілі многочлени в дужках. Після розкладання необхідно спростити вирази в обох дужках, використовуючи квадрат суми/різниці та зведення подібних доданків.

У пункті 1 після розкладання в перших дужках змінна $a$ взаємно знищується. У других дужках розкриваємо квадрат суми та зводимо подібні. В кінці виносимо спільний множник за дужки.
У пунктах 3 та 4 одночлени $27p^3$ та $64x^3$ спочатку подаємо як куби $(3p)^3$ та $(4x)^3.$ Будьте уважні при відніманні виразу в дужках (пункт 3) — знаки змінюються на протилежні.