ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 831

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Автор: О.С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 831

Розкладіть на множники:

$(a + 1)^3 + a^3;$
$(b - 2)^3 - 8;$
$125b^3 - (b - 1)^3;$
$64a^3 + (a + 2)^3.$

Розв'язок вправи № 831

Коротке рішення

1) $(a + 1)^3 + a^3 = (a + 1 + a)((a + 1)^2 - (a + 1)a + a^2) = (2a + 1)(a^2 + 2a + 1 - a^2 - a + a^2) = (2a + 1)(a^2 + a + 1);$

2) $(b - 2)^3 - 8 = (b - 2)^3 - 2^3 = (b - 2 - 2)((b - 2)^2 + 2(b - 2) + 2^2) = (b - 4)(b^2 - 4b + 4 + 2b - 4 + 4) = (b - 4)(b^2 - 2b + 4);$

3) $125b^3 - (b - 1)^3 = (5b)^3 - (b - 1)^3 = (5b - (b - 1))((5b)^2 + 5b(b - 1) + (b - 1)^2) = (4b + 1)(25b^2 + 5b^2 - 5b + b^2 - 2b + 1) = (4b + 1)(31b^2 - 7b + 1);$

4) $64a^3 + (a + 2)^3 = (4a)^3 + (a + 2)^3 = (4a + (a + 2))((4a)^2 - 4a(a + 2) + (a + 2)^2) = (5a + 2)(16a^2 - 4a^2 - 8a + a^2 + 4a + 4) = (5a + 2)(13a^2 - 4a + 4).$

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Для розкладання цих виразів на множники застосовується формула суми та різниці кубів: $A^3 \pm B^3 = (A \pm B)(A^2 \mp AB + B^2).$ Роль одного з членів ($A$ або $B$) відіграє цілий многочлен у дужках. Після розкладання необхідно максимально спростити отримані вирази, використовуючи формулу квадрата суми та різниці та зведення подібних доданків.

У першому пункті ми розглядаємо $A = (a + 1)$ та $B = a.$ Після застосування формули спрощуємо вираз у других дужках, розкриваючи квадрат двочлена.
У другому пункті число $8$ подаємо як $2^3.$ Тепер вираз має вигляд різниці кубів.
У третьому та четвертому пунктах одночлени $125b^3$ та $64a^3$ спочатку подаємо як куби $(5b)^3$ та $(4a)^3.$ Будьте уважні зі знаками при розкритті дужок, перед якими стоїть мінус.