ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 835

Обкладинка підручника ГДЗ Алгебра 7 клас Істер 2024

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Умова вправи № 835

Доведіть, що різниця натурального трицифрового числа і числа, записаного тими самими цифрами у зворотному порядку, ділиться на 11.

Розв'язок вправи № 835

Коротке рішення

Нехай $\overline{abc} = 100a + 10b + c$ — початкове число, а $\overline{cba} = 100c + 10b + a$ — зворотне число.

$\overline{abc} - \overline{cba} = (100a + 10b + c) - (100c + 10b + a) = 100a + 10b + c - 100c - 10b - a = 99a - 99c = 99(a - c).$

Оскільки множник 99 ділиться на 11 ($99 = 11 \cdot 9$), то і весь добуток ділиться на 11.

Доведено.

Детальне рішення

Ключ до розв'язання: Щоб довести це твердження, ми використовуємо буквений вираз для запису чисел. Будь-яке трицифрове число можна подати як суму сотень, десятків та одиниць. Більше про перетворення виразів можна дізнатися у розділі додавання і віднімання многочленів.

Запишемо перше число у вигляді суми розрядних доданків: $100a + 10b + c,$ де $a, b, c$ — його цифри.
Запишемо число зі зворотним порядком цифр: $100c + 10b + a$.
Знайдемо їхню різницю. Коли ми віднімаємо один вираз від іншого, цифри десятків ($10b$) повністю скорочуються, бо вони однакові в обох числах.
Залишається вираз $99a - 99c,$ де ми можемо винести число 99 за дужки.
Отриманий добуток $99(a - c)$ гарантовано ділиться на 11, тому що 99 кратне 11.