ГДЗ Алгебра 7 клас Істер - Розв'язання вправи № 876

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 7 класу.

Доведіть, що для будь-якого цілого значення $n$ значення виразу $\frac{n^3 - n}{6}$ є числом цілим.

$\frac{n^3 - n}{6} = \frac{n(n^2 - 1)}{6} = \frac{n(n - 1)(n + 1)}{6} = \frac{(n - 1)n(n + 1)}{6}.$

Добуток $(n - 1)n(n + 1)$ є добутком трьох послідовних цілих чисел. Серед трьох таких чисел одне обов’язково ділиться на 3, а принаймні одне — на 2.

Отже, весь добуток ділиться на $2 \cdot 3 = 6$.

Якщо чисельник ділиться на 6, то значення всього виразу є цілим числом. Доведено.

Ключ до розв'язання: Для доведення ми спочатку розкладаємо чисельник на множники за допомогою винесення спільного множника та формули різниці квадратів. Далі використовуємо властивості подільності чисел.

Етап 1: Розкладаємо $n^3 - n$. Виносимо $n$, отримуємо $n(n^2 - 1)$. Далі розкладаємо $n^2 - 1$ на $(n - 1)(n + 1)$. Тепер чисельник виглядає як добуток трьох чисел: $(n - 1)n(n + 1)$.
Етап 2: Аналізуємо добуток. Ці три числа є послідовними (наприклад: 4, 5, 6 або 10, 11, 12).
Етап 3: Серед будь-яких трьох послідовних чисел одне обов'язково кратне 3. Також серед них є принаймні одне парне число (кратне 2).
Висновок: Оскільки чисельник ділиться і на 2, і на 3, він обов'язково ділиться на їхній добуток, тобто на 6. Через це при діленні чисельника на знаменник 6 ми завжди отримуватимемо ціле число.