Розв'язання вправи № 6 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Для яких значень $x$ дорівнює нулю дріб:
1) $ \frac{x^2-1}{x+1} $; 2) $ \frac{x+3}{x^2-9} $; 3) $ \frac{|x|-2}{(x-2)(x+5)} $; 4) $ \frac{|x|-x}{x(x-3)} $?
Короткий розв'язок
1) $ \frac{x^2-1}{x+1} $: $ \begin{cases} x^2-1=0 \\ x+1 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \text{ або } x=-1 \\ x \neq -1 \end{cases} \Rightarrow x=1 $.
2) $ \frac{x+3}{x^2-9} $: $ \begin{cases} x+3=0 \\ x^2-9 \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=-3 \\ x \neq -3 \text{ та } x \neq 3 \end{cases} \Rightarrow $ розв'язків немає.
3) $ \frac{|x|-2}{(x-2)(x+5)} $: $ \begin{cases} |x|-2=0 \\ (x-2)(x+5) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=2 \text{ або } x=-2 \\ x \neq 2 \text{ та } x \neq -5 \end{cases} \Rightarrow x=-2 $.
4) $ \frac{|x|-x}{x(x-3)} $: $ \begin{cases} |x|-x=0 \\ x(x-3) \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \ge 0 \\ x \neq 0 \text{ та } x \neq 3 \end{cases} \Rightarrow x \in (0,3) \cup (3,\infty) $.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник при цьому не дорівнює нулю. Це означає, що для кожного випадку ми повинні розв'язати систему умов: чисельник = 0 та знаменник ≠ 0. Корені, які задовольняють першу умову, але не входять до області допустимих значень (тобто не перетворюють знаменник на нуль), і будуть розв'язком.
1) $ \frac{x^2-1}{x+1} $
Чисельник = 0: $x^2-1=0 \Rightarrow (x-1)(x+1)=0 \Rightarrow x_1=1, x_2=-1$.
Знаменник ≠ 0: $x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$.
Результат: Корінь $x=-1$ не входить до ОДЗ. Отже, єдиним розв'язком є $x=1$.
Відповідь: 1.
2) $ \frac{x+3}{x^2-9} $
Чисельник = 0: $x+3=0 \Rightarrow x=-3$.
Знаменник ≠ 0: $x^2-9 \neq 0 \Rightarrow (x-3)(x+3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$ та $x \neq -3$.
Результат: Єдиний корінь чисельника $x=-3$ не входить до ОДЗ. Отже, дріб ніколи не дорівнює нулю.
Відповідь: розв'язків немає.
3) $ \frac{|x|-2}{(x-2)(x+5)} $
Чисельник = 0: $|x|-2=0 \Rightarrow |x|=2 \Rightarrow x_1=2, x_2=-2$.
Знаменник ≠ 0: $(x-2)(x+5) \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$ та $x \neq -5$.
Результат: Корінь $x=2$ не входить до ОДЗ. Отже, єдиним розв'язком є $x=-2$.
Відповідь: -2.
4) $ \frac{|x|-x}{x(x-3)} $
Чисельник = 0: $|x|-x=0 \Rightarrow |x|=x$. Ця рівність є правильною для всіх невід'ємних чисел, тобто при $x \ge 0$.
Знаменник ≠ 0: $x(x-3) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$ та $x \neq 3$.
Результат: Ми повинні взяти всі значення з умови $x \ge 0$ і виключити з них $x=0$ та $x=3$.
Відповідь: $x \in (0,3) \cup (3,\infty)$.
