Розв'язання вправи № 8 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Скоротіть дріб:
1) $ \frac{a^2b^3}{ab^7} $; 2) $ \frac{-63xa^5}{81xa^6} $; 3) $ \frac{m(a-2)}{p(a-2)} $; 4) $ \frac{3a-6b}{7a-14b} $;
5) $ \frac{a-2y}{a^2-2ay} $; 6) $ \frac{m^2-1}{7m+7} $; 7) $ \frac{x^2-4x+4}{3x-6} $; 8) $ \frac{x^2-2xy}{2y-x} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{a^2b^3}{ab^7} = \frac{a}{b^4} $
2) $ \frac{-63xa^5}{81xa^6} = -\frac{7}{9a} $
3) $ \frac{m(a-2)}{p(a-2)} = \frac{m}{p} $
4) $ \frac{3a-6b}{7a-14b} = \frac{3(a-2b)}{7(a-2b)} = \frac{3}{7} $
5) $ \frac{a-2y}{a^2-2ay} = \frac{a-2y}{a(a-2y)} = \frac{1}{a} $
6) $ \frac{m^2-1}{7m+7} = \frac{(m-1)(m+1)}{7(m+1)} = \frac{m-1}{7} $
7) $ \frac{x^2-4x+4}{3x-6} = \frac{(x-2)^2}{3(x-2)} = \frac{x-2}{3} $
8) $ \frac{x^2-2xy}{2y-x} = \frac{x(x-2y)}{-(x-2y)} = -x $
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для скорочення складніших дробів необхідно спочатку розкласти чисельник і знаменник на множники. Для цього використовуються такі методи, як винесення спільного множника за дужки та застосування формул скороченого множення (різниця квадратів, квадрат суми/різниці). Після факторизації можна скорочувати однакові множники.
1) $ \frac{a^2b^3}{ab^7} $
Скорочуємо степені за правилом $ \frac{x^n}{x^k} = x^{n-k} $: $ \frac{a^{2-1}}{b^{7-3}} = \frac{a^1}{b^4} = \frac{a}{b^4} $.
2) $ \frac{-63xa^5}{81xa^6} $
Скорочуємо коефіцієнти: НСД(63, 81) = 9. $ \frac{-63}{81} = \frac{-7 \cdot 9}{9 \cdot 9} = -\frac{7}{9} $.
Скорочуємо змінні: $x$ скорочується, $ \frac{a^5}{a^6} = \frac{1}{a} $.
Результат: $ -\frac{7}{9a} $.
3) $ \frac{m(a-2)}{p(a-2)} $
Скорочуємо спільний множник $(a-2)$: $ \frac{m\cancel{(a-2)}}{p\cancel{(a-2)}} = \frac{m}{p} $.
4) $ \frac{3a-6b}{7a-14b} $
Винесемо спільний множник 3 в чисельнику: $3(a-2b)$.
Винесемо спільний множник 7 в знаменнику: $7(a-2b)$.
$ \frac{3\cancel{(a-2b)}}{7\cancel{(a-2b)}} = \frac{3}{7} $.
5) $ \frac{a-2y}{a^2-2ay} $
Винесемо спільний множник $a$ в знаменнику: $a(a-2y)$.
$ \frac{1 \cdot \cancel{(a-2y)}}{a\cancel{(a-2y)}} = \frac{1}{a} $.
6) $ \frac{m^2-1}{7m+7} $
Розкладемо чисельник за формулою різниці квадратів: $(m-1)(m+1)$.
Винесемо 7 в знаменнику: $7(m+1)$.
$ \frac{(m-1)\cancel{(m+1)}}{7\cancel{(m+1)}} = \frac{m-1}{7} $.
7) $ \frac{x^2-4x+4}{3x-6} $
Згорнемо чисельник за формулою квадрата різниці: $(x-2)^2$.
Винесемо 3 в знаменнику: $3(x-2)$.
$ \frac{(x-2)^{\cancel{2}}}{3\cancel{(x-2)}} = \frac{x-2}{3} $.
8) $ \frac{x^2-2xy}{2y-x} $
Винесемо $x$ в чисельнику: $x(x-2y)$.
Винесемо $-1$ в знаменнику: $-(x-2y)$.
$ \frac{x\cancel{(x-2y)}}{-\cancel{(x-2y)}} = \frac{x}{-1} = -x $.
