Розв'язання вправи № 5 (Повторення розділу 1) - ГДЗ Алгебра 8 клас (Істер)
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
1) $ \frac{1}{|x|+7} $; 2) $ \frac{p}{|m|-m} $; 3) $ \frac{1}{1-\frac{1}{|a|}} $; 4) $ \frac{3}{|2x-7|-3} $.
Короткий розв'язок
1) $ \frac{1}{|x|+7} $: $|x|+7 \neq 0 \Rightarrow |x| \neq -7$. Завжди істинно. ОДЗ: $x$ — будь-яке число.
2) $ \frac{p}{|m|-m} $: $|m|-m \neq 0 \Rightarrow |m| \neq m$. Це виконується, коли $m<0$. ОДЗ: $m \in (-\infty; 0)$.
3) $ \frac{1}{1-\frac{1}{|a|}} $: $\begin{cases} |a| \neq 0 \\ 1-\frac{1}{|a|} \neq 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \neq 0 \\ |a| \neq 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a \neq 0 \\ a \neq 1 \\ a \neq -1 \end{cases}$. ОДЗ: всі числа, крім $a=-1, a=0$ та $a=1$.
4) $ \frac{3}{|2x-7|-3} $: $|2x-7|-3 \neq 0 \Rightarrow |2x-7| \neq 3$. $\begin{cases} 2x-7 \neq 3 \\ 2x-7 \neq -3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x \neq 10 \\ 2x \neq 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x \neq 5 \\ x \neq 2 \end{cases}$. ОДЗ: всі числа, крім $x=2$ та $x=5$.
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: При знаходженні області допустимих значень (ОДЗ) для виразів з модулем, ключовим є аналіз знаменників. Потрібно враховувати властивості модуля: $|A| \ge 0$ (модуль завжди невід'ємний) та $|A| = B$ (де $B \ge 0$) розпадається на два рівняння: $A = B$ або $A = -B$. Кожен знаменник у виразі прирівнюємо до нуля і виключаємо знайдені корені з ОДЗ.
1) $ \frac{1}{|x|+7} $
Знаменник не може дорівнювати нулю: $|x|+7 \neq 0$.
Перенесемо 7 в праву частину: $|x| \neq -7$.
Оскільки модуль будь-якого числа $|x|$ завжди є невід'ємним (тобто $|x| \ge 0$), він ніколи не може дорівнювати від'ємному числу -7. Отже, знаменник ніколи не дорівнює нулю.
Відповідь: Областю допустимих значень є всі дійсні числа.
2) $ \frac{p}{|m|-m} $
Знаменник не може дорівнювати нулю: $|m|-m \neq 0$, звідки $|m| \neq m$.
Проаналізуємо рівність $|m|=m$:
- Якщо $m \ge 0$, то $|m|=m$. Це ті значення, які нам не підходять.
- Якщо $m < 0$, то $|m|=-m$, і рівність $|m|=m$ не виконується.
Отже, вираз має зміст тільки для від'ємних значень $m$.
Відповідь: ОДЗ: $m < 0$, або $m \in (-\infty; 0)$.
3) $ \frac{1}{1-\frac{1}{|a|}} $
У цьому виразі є два знаменники, які не повинні дорівнювати нулю.
Внутрішній знаменник: $|a| \neq 0$, що означає $a \neq 0$.
Зовнішній знаменник: $1-\frac{1}{|a|} \neq 0$.
Розв'яжемо рівняння $1-\frac{1}{|a|} = 0$:
Це рівняння має два корені: $a=1$ та $a=−1$.
Таким чином, ми повинні виключити значення $a=0, a=1$ та $a=−1$.
Відповідь: ОДЗ: всі дійсні числа, крім -1, 0, 1.
4) $ \frac{3}{|2x-7|-3} $
Знаменник не може дорівнювати нулю: $|2x-7|-3 \neq 0$.
Це означає, що $|2x-7| \neq 3$.
Рівняння $|2x-7|=3$ розпадається на два випадки:
Ці два значення $x$ потрібно виключити.
Відповідь: ОДЗ: всі дійсні числа, крім $x=2$ та $x=5$.
