ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №3.28
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 3.28
(Національна олімпіада Великої Британії, 1968 р.) Нехай $a_1, a_2, ..., a_7$ – цілі числа, а $b_1, b_2, ..., b_7$ – ті самі числа в іншому порядку. Доведіть, що число $(a_1 – b_1)(a_2 – b_2)...(a_7 – b_7)$ є парним.
Розв'язок вправи № 3.28
Короткий розв'язок
Припустимо, що добуток непарний. Тоді всі множники $(a_i - b_i)$ непарні. Сума непарної кількості (7) непарних чисел є непарною. Але сума $\sum(a_i - b_i) = \sum a_i - \sum b_i = 0$, що є парним числом. Отримали протиріччя. Отже, припущення хибне, і добуток є парним.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: для доведення використаємо метод від супротивного. Припустимо, що добуток є непарним, і розглянемо властивості парності суми різниць.
1. Припущення: Припустимо, що добуток $P = (a_1 – b_1)(a_2 – b_2)...(a_7 – b_7)$ є непарним числом.
2. Наслідок з припущення: Щоб добуток цілих чисел був непарним, необхідно, щоб кожен із множників був непарним. Тобто, кожна різниця $(a_i – b_i)$ для $i=1, 2, ..., 7$ є непарним числом.
3. Розгляд суми: Розглянемо суму цих семи непарних різниць: $S = (a_1 – b_1) + (a_2 – b_2) + ... + (a_7 – b_7)$. Сума непарної кількості (семи) непарних чисел завжди є непарним числом. Отже, $S$ — непарне.
4. Обчислення суми іншим способом: Розкриємо дужки і перегрупуємо доданки в сумі $S$:
За умовою, набір чисел $b_1, b_2, ..., b_7$ — це ті самі числа, що й $a_1, a_2, ..., a_7$, але в іншому порядку. Тому сума цих чисел однакова:
Отже, їхня різниця дорівнює нулю:
5. Протиріччя: З одного боку (п. 3), ми дійшли висновку, що сума $S$ має бути непарною. З іншого боку (п. 4), ми обчислили, що ця сума дорівнює 0, а 0 — це парне число.
6. Висновок: Отримане протиріччя означає, що наше початкове припущення (про те, що добуток є непарним) було хибним. Отже, добуток $(a_1 – b_1)(a_2 – b_2)...(a_7 – b_7)$ обов'язково є парним числом.
