До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №3.24

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 3.24

Скоротіть дріб x2+y2−z2−2xyx2−y2+z2+2xz\frac{x^2+y^2-z^2-2xy}{x^2-y^2+z^2+2xz}.

Розв'язок вправи № 3.24

Короткий розв'язок

(x2−2xy+y2)−z2(x2+2xz+z2)−y2=(x−y)2−z2(x+z)2−y2= \frac{(x^2-2xy+y^2)-z^2}{(x^2+2xz+z^2)-y^2} = \frac{(x-y)^2-z^2}{(x+z)^2-y^2} =
=(x−y−z)(x−y+z)(x+z−y)(x+z+y)=x−y−zx+z−y = \frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x+z-y)(x+z+y)} = \frac{x-y-z}{x+z-y}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для скорочення цього дробу необхідно згрупувати доданки в чисельнику та знаменнику так, щоб можна було застосувати формули скороченого множення (квадрат різниці, квадрат суми, а потім різниця квадратів).

Перегрупуємо доданки в чисельнику та знаменнику:

(x2−2xy+y2)−z2(x2+2xz+z2)−y2 \frac{(x^2-2xy+y^2)-z^2}{(x^2+2xz+z^2)-y^2}

Застосуємо формули квадрата суми та різниці:

(x−y)2−z2(x+z)2−y2 \frac{(x-y)^2-z^2}{(x+z)^2-y^2}

Тепер застосуємо формулу різниці квадратів для чисельника і знаменника:

(x−y−z)(x−y+z)(x+z−y)(x+z+y) \frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x+z-y)(x+z+y)}

Скоротимо однаковий множник (x−y+z)(x-y+z), який можна записати як (x+z−y)(x+z-y):

(x−y−z)(x−y+z)(x+z−y)(x+y+z)=x−y−zx+y+z \frac{(x-y-z)\cancel{(x-y+z)}}{\cancel{(x+z-y)}(x+y+z)} = \frac{x-y-z}{x+y+z}