ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №3.24
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 3.24
Скоротіть дріб $\frac{x^2+y^2-z^2-2xy}{x^2-y^2+z^2+2xz}$.
Розв'язок вправи № 3.24
Короткий розв'язок
$$ \frac{(x^2-2xy+y^2)-z^2}{(x^2+2xz+z^2)-y^2} = \frac{(x-y)^2-z^2}{(x+z)^2-y^2} = $$
$$ = \frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x+z-y)(x+z+y)} = \frac{x-y-z}{x+z-y} $$
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: для скорочення цього дробу необхідно згрупувати доданки в чисельнику та знаменнику так, щоб можна було застосувати формули скороченого множення (квадрат різниці, квадрат суми, а потім різниця квадратів).
Перегрупуємо доданки в чисельнику та знаменнику:
$$ \frac{(x^2-2xy+y^2)-z^2}{(x^2+2xz+z^2)-y^2} $$
Застосуємо формули квадрата суми та різниці:
$$ \frac{(x-y)^2-z^2}{(x+z)^2-y^2} $$
Тепер застосуємо формулу різниці квадратів для чисельника і знаменника:
$$ \frac{(x-y-z)(x-y+z)}{(x+z-y)(x+z+y)} $$
Скоротимо однаковий множник $(x-y+z)$, який можна записати як $(x+z-y)$:
$$ \frac{(x-y-z)\cancel{(x-y+z)}}{\cancel{(x+z-y)}(x+y+z)} = \frac{x-y-z}{x+y+z} $$
