До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.18

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.18

Знайдіть суму та різницю дробів:

1) 1x−y\frac{1}{x-y} і 1x+y\frac{1}{x+y};      2) 1a+b\frac{1}{a+b} і 1a\frac{1}{a}.

Розв'язок вправи № 4.18

Короткий розв'язок

1) Сума: x+y+x−y(x−y)(x+y)=2xx2−y2\frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x}{x^2-y^2}

Різниця: x+y−(x−y)(x−y)(x+y)=2yx2−y2\frac{x+y-(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{2y}{x^2-y^2}

2) Сума: a+a+ba(a+b)=2a+ba(a+b)\frac{a+a+b}{a(a+b)} = \frac{2a+b}{a(a+b)}

Різниця: a−(a+b)a(a+b)=−ba(a+b)\frac{a-(a+b)}{a(a+b)} = \frac{-b}{a(a+b)}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для знаходження суми та різниці дробів, їх необхідно звести до спільного знаменника, який є добутком їхніх знаменників, а потім виконати відповідні дії з чисельниками.

1) Для дробів 1x−y\frac{1}{x-y} і 1x+y\frac{1}{x+y}:

Сума:

1x−y+1x+y=x+y+x−y(x−y)(x+y)=2xx2−y2 \frac{1}{x-y}+\frac{1}{x+y} = \frac{x+y+x-y}{(x-y)(x+y)} = \frac{2x}{x^2-y^2}

Різниця:

1x−y−1x+y=x+y−(x−y)(x−y)(x+y)=x+y−x+yx2−y2=2yx2−y2 \frac{1}{x-y}-\frac{1}{x+y} = \frac{x+y-(x-y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{x+y-x+y}{x^2-y^2} = \frac{2y}{x^2-y^2}

2) Для дробів 1a+b\frac{1}{a+b} і 1a\frac{1}{a}:

Сума:

1a+b+1a=a+a+ba(a+b)=2a+ba(a+b) \frac{1}{a+b}+\frac{1}{a} = \frac{a+a+b}{a(a+b)} = \frac{2a+b}{a(a+b)}

Різниця:

1a+b−1a=a−(a+b)a(a+b)=a−a−ba(a+b)=−ba(a+b) \frac{1}{a+b}-\frac{1}{a} = \frac{a-(a+b)}{a(a+b)} = \frac{a-a-b}{a(a+b)} = \frac{-b}{a(a+b)}