До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.20

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.20

Спростіть вираз:

1) 2a+3a−1\frac{2}{a}+\frac{3}{a-1};    2) ca−c−ca\frac{c}{a-c}-\frac{c}{a};    3) 3x+y+2x−y\frac{3}{x+y}+\frac{2}{x-y};

4) xx−1+2x−2\frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2};    5) a+1a−aa−1\frac{a+1}{a}-\frac{a}{a-1};    6) a2a−1−a2a+1\frac{a}{2a-1}-\frac{a}{2a+1}.

Розв'язок вправи № 4.20

Короткий розв'язок

1) 2(a−1)+3aa(a−1)=5a−2a(a−1)\frac{2(a-1)+3a}{a(a-1)} = \frac{5a-2}{a(a-1)}

2) ca−c(a−c)a(a−c)=c2a(a−c)\frac{ca-c(a-c)}{a(a-c)} = \frac{c^2}{a(a-c)}

3) 3(x−y)+2(x+y)(x−y)(x+y)=5x−yx2−y2\frac{3(x-y)+2(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{5x-y}{x^2-y^2}

4) x(x−2)+2(x−1)(x−1)(x−2)=x2−2x+2x−2(x−1)(x−2)=x2−2(x−1)(x−2)\frac{x(x-2)+2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x^2-2x+2x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{x^2-2}{(x-1)(x-2)}

5) (a+1)(a−1)−a2a(a−1)=a2−1−a2a(a−1)=−1a(a−1)\frac{(a+1)(a-1)-a^2}{a(a-1)} = \frac{a^2-1-a^2}{a(a-1)} = \frac{-1}{a(a-1)}

6) a(2a+1)−a(2a−1)(2a−1)(2a+1)=2a2+a−2a2+a4a2−1=2a4a2−1\frac{a(2a+1)-a(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2+a-2a^2+a}{4a^2-1} = \frac{2a}{4a^2-1}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для спрощення виразів з дробами, що мають різні знаменники, необхідно знайти їх спільний знаменник, домножити чисельники на відповідні додаткові множники, а потім виконати додавання або віднімання.

1) 2a+3a−1=2(a−1)+3aa(a−1)=2a−2+3aa(a−1)=5a−2a(a−1)\frac{2}{a}+\frac{3}{a-1} = \frac{2(a-1)+3a}{a(a-1)} = \frac{2a-2+3a}{a(a-1)} = \frac{5a-2}{a(a-1)}

2) ca−c−ca=ca−c(a−c)a(a−c)=ca−ca+c2a(a−c)=c2a(a−c)\frac{c}{a-c}-\frac{c}{a} = \frac{ca-c(a-c)}{a(a-c)} = \frac{ca-ca+c^2}{a(a-c)} = \frac{c^2}{a(a-c)}

3) 3x+y+2x−y=3(x−y)+2(x+y)(x−y)(x+y)=3x−3y+2x+2yx2−y2=5x−yx2−y2\frac{3}{x+y}+\frac{2}{x-y} = \frac{3(x-y)+2(x+y)}{(x-y)(x+y)} = \frac{3x-3y+2x+2y}{x^2-y^2} = \frac{5x-y}{x^2-y^2}

4) xx−1+2x−2=x(x−2)+2(x−1)(x−1)(x−2)=x2−2x+2x−2(x−1)(x−2)=x2−2(x−1)(x−2)\frac{x}{x-1}+\frac{2}{x-2} = \frac{x(x-2)+2(x-1)}{(x-1)(x-2)} = \frac{x^2-2x+2x-2}{(x-1)(x-2)} = \frac{x^2-2}{(x-1)(x-2)}

5) a+1a−aa−1=(a+1)(a−1)−a2a(a−1)=a2−1−a2a(a−1)=−1a(a−1)\frac{a+1}{a}-\frac{a}{a-1} = \frac{(a+1)(a-1)-a^2}{a(a-1)} = \frac{a^2-1-a^2}{a(a-1)} = \frac{-1}{a(a-1)}

6) a2a−1−a2a+1=a(2a+1)−a(2a−1)(2a−1)(2a+1)=2a2+a−2a2+a4a2−1=2a4a2−1\frac{a}{2a-1}-\frac{a}{2a+1} = \frac{a(2a+1)-a(2a-1)}{(2a-1)(2a+1)} = \frac{2a^2+a-2a^2+a}{4a^2-1} = \frac{2a}{4a^2-1}