До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.19

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.19

Знайдіть суму та різницю дробів:

1) 12a+b\frac{1}{2a+b} і 12a−b\frac{1}{2a-b};      2) 1m−n\frac{1}{m-n} і 1m\frac{1}{m}.

Розв'язок вправи № 4.19

Короткий розв'язок

1) Сума: 2a−b+2a+b(2a+b)(2a−b)=4a4a2−b2\frac{2a-b+2a+b}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}

Різниця: 2a−b−(2a+b)(2a+b)(2a−b)=−2b4a2−b2\frac{2a-b-(2a+b)}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{-2b}{4a^2-b^2}

2) Сума: m+m−nm(m−n)=2m−nm(m−n)\frac{m+m-n}{m(m-n)} = \frac{2m-n}{m(m-n)}

Різниця: m−(m−n)m(m−n)=nm(m−n)\frac{m-(m-n)}{m(m-n)} = \frac{n}{m(m-n)}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для знаходження суми та різниці дробів з різними знаменниками, їх необхідно звести до спільного знаменника, який зазвичай є добутком початкових знаменників. Потім виконати відповідні дії з чисельниками, домноженими на додаткові множники.

1) Для дробів 12a+b\frac{1}{2a+b} і 12a−b\frac{1}{2a-b}:

Сума:

12a+b+12a−b=2a−b+2a+b(2a+b)(2a−b)=4a4a2−b2 \frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2a-b} = \frac{2a-b+2a+b}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}

Різниця:

12a+b−12a−b=2a−b−(2a+b)(2a+b)(2a−b)=2a−b−2a−b4a2−b2=−2b4a2−b2 \frac{1}{2a+b}-\frac{1}{2a-b} = \frac{2a-b-(2a+b)}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{2a-b-2a-b}{4a^2-b^2} = \frac{-2b}{4a^2-b^2}

2) Для дробів 1m−n\frac{1}{m-n} і 1m\frac{1}{m}:

Сума:

1m−n+1m=m+m−nm(m−n)=2m−nm(m−n) \frac{1}{m-n}+\frac{1}{m} = \frac{m+m-n}{m(m-n)} = \frac{2m-n}{m(m-n)}

Різниця:

1m−n−1m=m−(m−n)m(m−n)=m−m+nm(m−n)=nm(m−n) \frac{1}{m-n}-\frac{1}{m} = \frac{m-(m-n)}{m(m-n)} = \frac{m-m+n}{m(m-n)} = \frac{n}{m(m-n)}