ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.19

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.19

Знайдіть суму та різницю дробів:

1) $\frac{1}{2a+b}$ і $\frac{1}{2a-b}$; 2) $\frac{1}{m-n}$ і $\frac{1}{m}$.

Розв'язок вправи № 4.19

Короткий розв'язок

1) Сума: $\frac{2a-b+2a+b}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2}$

Різниця: $\frac{2a-b-(2a+b)}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{-2b}{4a^2-b^2}$

2) Сума: $\frac{m+m-n}{m(m-n)} = \frac{2m-n}{m(m-n)}$

Різниця: $\frac{m-(m-n)}{m(m-n)} = \frac{n}{m(m-n)}$

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для знаходження суми та різниці дробів з різними знаменниками, їх необхідно звести до спільного знаменника, який зазвичай є добутком початкових знаменників. Потім виконати відповідні дії з чисельниками, домноженими на додаткові множники.

1) Для дробів $\frac{1}{2a+b}$ і $\frac{1}{2a-b}$:

Сума:

$$ \frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2a-b} = \frac{2a-b+2a+b}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{4a}{4a^2-b^2} $$

Різниця:

$$ \frac{1}{2a+b}-\frac{1}{2a-b} = \frac{2a-b-(2a+b)}{(2a+b)(2a-b)} = \frac{2a-b-2a-b}{4a^2-b^2} = \frac{-2b}{4a^2-b^2} $$

2) Для дробів $\frac{1}{m-n}$ і $\frac{1}{m}$:

Сума:

$$ \frac{1}{m-n}+\frac{1}{m} = \frac{m+m-n}{m(m-n)} = \frac{2m-n}{m(m-n)} $$

Різниця:

$$ \frac{1}{m-n}-\frac{1}{m} = \frac{m-(m-n)}{m(m-n)} = \frac{m-m+n}{m(m-n)} = \frac{n}{m(m-n)} $$