До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.27

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Спростіть вираз:

1) a+4ab−a2+b+4ab−b2\frac{a+4}{ab-a^2}+\frac{b+4}{ab-b^2};

2) m2mx−x2+xx−m\frac{m^2}{mx-x^2}+\frac{x}{x-m};

3) 2x2−4−1x2+2x\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x^2+2x};

4) 3ab−27a2b2−3ab−3a2−b2ab−3a2\frac{3ab-27a^2}{b^2-3ab}-\frac{3a^2-b^2}{ab-3a^2}.

Короткий розв'язок

1) a+4a(b−a)+b+4b(a−b)=−(a+4)a(a−b)+b+4b(a−b)=−b(a+4)+a(b+4)ab(a−b)=4(a−b)ab(a−b)=4ab\frac{a+4}{a(b-a)}+\frac{b+4}{b(a-b)} = \frac{-(a+4)}{a(a-b)}+\frac{b+4}{b(a-b)} = \frac{-b(a+4)+a(b+4)}{ab(a-b)} = \frac{4(a-b)}{ab(a-b)} = \frac{4}{ab}

2) m2x(m−x)−xm−x=m2−x2x(m−x)=(m−x)(m+x)x(m−x)=m+xx\frac{m^2}{x(m-x)}-\frac{x}{m-x} = \frac{m^2-x^2}{x(m-x)} = \frac{(m-x)(m+x)}{x(m-x)} = \frac{m+x}{x}

3) 2(x−2)(x+2)−1x(x+2)=2x−1(x−2)x(x−2)(x+2)=x+2x(x−2)(x+2)=1x(x−2)\frac{2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x(x+2)} = \frac{2x-1(x-2)}{x(x-2)(x+2)} = \frac{x+2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x(x-2)}

4) 3ab−27a2b(b−3a)−3a2−b2a(b−3a)=a(3ab−27a2)−b(3a2−b2)ab(b−3a)=b3−27a3ab(b−3a)=b2+3ab+9a2ab\frac{3ab-27a^2}{b(b-3a)}-\frac{3a^2-b^2}{a(b-3a)} = \frac{a(3ab-27a^2)-b(3a^2-b^2)}{ab(b-3a)} = \frac{b^3-27a^3}{ab(b-3a)} = \frac{b^2+3ab+9a^2}{ab}

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Для додавання або віднімання дробів необхідно звести їх до спільного знаменника. Для цього спочатку розкладаємо знаменники на множники, знаходимо спільний знаменник, визначаємо додаткові множники та виконуємо дії з чисельниками. В кінці, якщо можливо, скорочуємо отриманий дріб.

1) a+4ab−a2+b+4ab−b2\frac{a+4}{ab-a^2}+\frac{b+4}{ab-b^2}

a+4a(b−a)+b+4b(a−b)=\frac{a+4}{a(b-a)}+\frac{b+4}{b(a-b)} =
=a+4−a(a−b)+b+4b(a−b)== \frac{a+4}{-a(a-b)}+\frac{b+4}{b(a-b)} =
=−b(a+4)+a(b+4)ab(a−b)== \frac{-b(a+4)+a(b+4)}{ab(a-b)} =
=−ab−4b+ab+4aab(a−b)== \frac{-ab-4b+ab+4a}{ab(a-b)} =
=4a−4bab(a−b)=4(a−b)ab(a−b)=4ab= \frac{4a-4b}{ab(a-b)} = \frac{4(a-b)}{ab(a-b)} = \frac{4}{ab}

2) m2mx−x2+xx−m\frac{m^2}{mx-x^2}+\frac{x}{x-m}

m2x(m−x)+xx−m=\frac{m^2}{x(m-x)}+\frac{x}{x-m} =
=m2x(m−x)−xm−x== \frac{m^2}{x(m-x)}-\frac{x}{m-x} =
=m2−x⋅xx(m−x)=m2−x2x(m−x)== \frac{m^2-x \cdot x}{x(m-x)} = \frac{m^2-x^2}{x(m-x)} =
=(m−x)(m+x)x(m−x)=m+xx= \frac{(m-x)(m+x)}{x(m-x)} = \frac{m+x}{x}

3) 2x2−4−1x2+2x\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x^2+2x}

2(x−2)(x+2)−1x(x+2)=\frac{2}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x(x+2)} =
=2x−1(x−2)x(x−2)(x+2)== \frac{2x - 1(x-2)}{x(x-2)(x+2)} =
=2x−x+2x(x−2)(x+2)== \frac{2x-x+2}{x(x-2)(x+2)} =
=x+2x(x−2)(x+2)=1x(x−2)= \frac{x+2}{x(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x(x-2)}

4) 3ab−27a2b2−3ab−3a2−b2ab−3a2\frac{3ab-27a^2}{b^2-3ab}-\frac{3a^2-b^2}{ab-3a^2}

3ab−27a2b(b−3a)−3a2−b2a(b−3a)=\frac{3ab-27a^2}{b(b-3a)}-\frac{3a^2-b^2}{a(b-3a)} =
=a(3ab−27a2)−b(3a2−b2)ab(b−3a)== \frac{a(3ab-27a^2)-b(3a^2-b^2)}{ab(b-3a)} =
=3a2b−27a3−3a2b+b3ab(b−3a)== \frac{3a^2b-27a^3-3a^2b+b^3}{ab(b-3a)} =
=b3−27a3ab(b−3a)== \frac{b^3-27a^3}{ab(b-3a)} =
=(b−3a)(b2+3ab+9a2)ab(b−3a)=b2+3ab+9a2ab= \frac{(b-3a)(b^2+3ab+9a^2)}{ab(b-3a)} = \frac{b^2+3ab+9a^2}{ab}