До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.32

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2021

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.32

Доведіть, що для всіх допустимих значень змінної значення виразу 4m−57m−21−m−12m−6\frac{4m - 5}{7m - 21} - \frac{m - 1}{2m - 6} від значення mm не залежить.

Розв'язок вправи № 4.32

Короткий розв'язок

4m−57m−21−m−12m−6=4m−57(m−3)−m−12(m−3)\frac{4m - 5}{7m - 21} - \frac{m - 1}{2m - 6} = \frac{4m - 5}{7(m - 3)} - \frac{m - 1}{2(m - 3)}
=2(4m−5)−7(m−1)14(m−3)=8m−10−7m+714(m−3)= \frac{2(4m - 5) - 7(m - 1)}{14(m - 3)} = \frac{8m - 10 - 7m + 7}{14(m - 3)}
=m−314(m−3)=114= \frac{m - 3}{14(m - 3)} = \frac{1}{14}

Оскільки результатом спрощення є число 114\frac{1}{14}, значення виразу не залежить від mm.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що значення раціонального виразу не залежить від змінної, потрібно виконати тотожні перетворення (спрощення). Якщо в результаті ми отримаємо число (константу), то доведення завершено. Основний метод тут — це віднімання дробів шляхом зведення їх до спільного знаменника.

Спочатку спростимо заданий вираз. Для цього знайдемо спільний знаменник. Розкладемо знаменники обох дробів на множники.

4m−57m−21−m−12m−6=4m−57(m−3)−m−12(m−3)\frac{4m - 5}{7m - 21} - \frac{m - 1}{2m - 6} = \frac{4m - 5}{7(m - 3)} - \frac{m - 1}{2(m - 3)}

Спільним знаменником для дробів буде вираз 14(m−3)14(m-3). Знайдемо додаткові множники для кожного дробу: для першого — 22, для другого — 77.

=2(4m−5)14(m−3)−7(m−1)14(m−3)= \frac{2(4m - 5)}{14(m - 3)} - \frac{7(m - 1)}{14(m - 3)}

Тепер виконаємо віднімання дробів, записавши чисельники під спільною рискою.

=2(4m−5)−7(m−1)14(m−3)= \frac{2(4m - 5) - 7(m - 1)}{14(m - 3)}

Розкриємо дужки в чисельнику і зведемо подібні доданки.

=8m−10−7m+714(m−3)=m−314(m−3)= \frac{8m - 10 - 7m + 7}{14(m - 3)} = \frac{m - 3}{14(m - 3)}

Скоротимо дріб на спільний множник (m−3)(m-3). Це можливо за умови, що m−3≠0m-3 \neq 0, тобто m≠3m \neq 3, що відповідає області допустимих значень виразу.

=114= \frac{1}{14}

Результатом спрощення є число 114\frac{1}{14}, яке не містить змінної mm. Отже, ми довели, що значення виразу не залежить від значення mm для всіх допустимих значень. Що й треба було довести.