ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.33
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 4.33
Спростіть вираз:
- $\frac{x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{2 - x}{x^3 + 1}$;
- $\frac{2m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} + \frac{2m^2}{25 - m^2}$;
- $\frac{6}{m^2 - 6m} + \frac{m - 12}{6m - 36}$;
- $\frac{3}{2a + 6} + \frac{a^2 - a - 3}{a^2 - 9} - 1$.
Розв'язок вправи № 4.33
Короткий розв'язок
1) $\frac{1}{x+1}$
2) $\frac{5}{m-5}$
3) $\frac{m-6}{6m}$
4) $\frac{1}{2(a-3)}$
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: Щоб спростити раціональні вирази, спершу потрібно розкласти знаменники на множники. Це дозволить знайти спільний знаменник і виконати додавання чи віднімання дробів. Пам'ятайте про формули скороченого множення, зокрема суму кубів та різницю квадратів.
1) $\frac{x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{2 - x}{x^3 + 1}$
Розкладемо знаменник другого дробу за формулою суми кубів: $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
Спільним знаменником є $(x+1)(x^2-x+1)$. Домножимо чисельник першого дробу на $(x+1)$.
Розкриємо дужки в чисельнику і зведемо подібні доданки.
Скоротимо дріб на вираз $(x^2-x+1)$.
2) $\frac{2m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} + \frac{2m^2}{25 - m^2}$
Змінимо знак у знаменнику третього дробу, винісши мінус перед дробом: $25-m^2 = -(m^2-25)$.
Розкладемо знаменник $m^2-25$ на множники як різницю квадратів: $(m-5)(m+5)$.
Зведемо дроби до спільного знаменника $(m-5)(m+5)$.
Розкриємо дужки в чисельнику.
Винесемо спільний множник 5 у чисельнику і скоротимо дріб.
3) $\frac{6}{m^2 - 6m} + \frac{m - 12}{6m - 36}$
Винесемо спільні множники за дужки в знаменниках.
Спільним знаменником є $6m(m-6)$. Зведемо дроби до нього.
Згорнемо чисельник за формулою квадрата різниці: $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$.
Скоротимо дріб на $(m-6)$.
4) $\frac{3}{2a + 6} + \frac{a^2 - a - 3}{a^2 - 9} - 1$
Розкладемо знаменники на множники та представимо 1 як дріб.
Спільний знаменник — $2(a-3)(a+3)$.
Розкриємо дужки в чисельнику.
Зведемо подібні доданки.
Скоротимо дріб на $(a+3)$.
