До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.33

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2021

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.33

Спростіть вираз:

  1. x−1x2−x+1+2−xx3+1\frac{x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{2 - x}{x^3 + 1};
  2. 2mm−5−5m+5+2m225−m2\frac{2m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} + \frac{2m^2}{25 - m^2};
  3. 6m2−6m+m−126m−36\frac{6}{m^2 - 6m} + \frac{m - 12}{6m - 36};
  4. 32a+6+a2−a−3a2−9−1\frac{3}{2a + 6} + \frac{a^2 - a - 3}{a^2 - 9} - 1.

Розв'язок вправи № 4.33

Короткий розв'язок

1) 1x+1\frac{1}{x+1}

2) 5m−5\frac{5}{m-5}

3) m−66m\frac{m-6}{6m}

4) 12(a−3)\frac{1}{2(a-3)}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Щоб спростити раціональні вирази, спершу потрібно розкласти знаменники на множники. Це дозволить знайти спільний знаменник і виконати додавання чи віднімання дробів. Пам'ятайте про формули скороченого множення, зокрема суму кубів та різницю квадратів.

1) x−1x2−x+1+2−xx3+1\frac{x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{2 - x}{x^3 + 1}

Розкладемо знаменник другого дробу за формулою суми кубів: x3+1=(x+1)(x2−x+1)x^3+1=(x+1)(x^2-x+1).

x−1x2−x+1+2−x(x+1)(x2−x+1)\frac{x - 1}{x^2 - x + 1} + \frac{2 - x}{(x+1)(x^2-x+1)}

Спільним знаменником є (x+1)(x2−x+1)(x+1)(x^2-x+1). Домножимо чисельник першого дробу на (x+1)(x+1).

=(x−1)(x+1)+(2−x)(x+1)(x2−x+1)= \frac{(x-1)(x+1) + (2-x)}{(x+1)(x^2-x+1)}

Розкриємо дужки в чисельнику і зведемо подібні доданки.

=x2−1+2−x(x+1)(x2−x+1)=x2−x+1(x+1)(x2−x+1)= \frac{x^2 - 1 + 2 - x}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{x^2 - x + 1}{(x+1)(x^2-x+1)}

Скоротимо дріб на вираз (x2−x+1)(x^2-x+1).

=1x+1= \frac{1}{x+1}

2) 2mm−5−5m+5+2m225−m2\frac{2m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} + \frac{2m^2}{25 - m^2}

Змінимо знак у знаменнику третього дробу, винісши мінус перед дробом: 25−m2=−(m2−25)25-m^2 = -(m^2-25).

2mm−5−5m+5−2m2m2−25\frac{2m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} - \frac{2m^2}{m^2 - 25}

Розкладемо знаменник m2−25m^2-25 на множники як різницю квадратів: (m−5)(m+5)(m-5)(m+5).

=2mm−5−5m+5−2m2(m−5)(m+5)= \frac{2m}{m - 5} - \frac{5}{m + 5} - \frac{2m^2}{(m-5)(m+5)}

Зведемо дроби до спільного знаменника (m−5)(m+5)(m-5)(m+5).

=2m(m+5)−5(m−5)−2m2(m−5)(m+5)= \frac{2m(m+5) - 5(m-5) - 2m^2}{(m-5)(m+5)}

Розкриємо дужки в чисельнику.

=2m2+10m−5m+25−2m2(m−5)(m+5)=5m+25(m−5)(m+5)= \frac{2m^2 + 10m - 5m + 25 - 2m^2}{(m-5)(m+5)} = \frac{5m + 25}{(m-5)(m+5)}

Винесемо спільний множник 5 у чисельнику і скоротимо дріб.

=5(m+5)(m−5)(m+5)=5m−5= \frac{5(m+5)}{(m-5)(m+5)} = \frac{5}{m-5}

3) 6m2−6m+m−126m−36\frac{6}{m^2 - 6m} + \frac{m - 12}{6m - 36}

Винесемо спільні множники за дужки в знаменниках.

6m(m−6)+m−126(m−6)\frac{6}{m(m-6)} + \frac{m - 12}{6(m - 6)}

Спільним знаменником є 6m(m−6)6m(m-6). Зведемо дроби до нього.

=6⋅6+m(m−12)6m(m−6)=36+m2−12m6m(m−6)= \frac{6 \cdot 6 + m(m-12)}{6m(m-6)} = \frac{36 + m^2 - 12m}{6m(m-6)}

Згорнемо чисельник за формулою квадрата різниці: a2−2ab+b2=(a−b)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2.

=(m−6)26m(m−6)= \frac{(m-6)^2}{6m(m-6)}

Скоротимо дріб на (m−6)(m-6).

=m−66m= \frac{m-6}{6m}

4) 32a+6+a2−a−3a2−9−1\frac{3}{2a + 6} + \frac{a^2 - a - 3}{a^2 - 9} - 1

Розкладемо знаменники на множники та представимо 1 як дріб.

32(a+3)+a2−a−3(a−3)(a+3)−2(a−3)(a+3)2(a−3)(a+3)\frac{3}{2(a+3)} + \frac{a^2 - a - 3}{(a-3)(a+3)} - \frac{2(a-3)(a+3)}{2(a-3)(a+3)}

Спільний знаменник — 2(a−3)(a+3)2(a-3)(a+3).

=3(a−3)+2(a2−a−3)−2(a2−9)2(a−3)(a+3)= \frac{3(a-3) + 2(a^2 - a - 3) - 2(a^2-9)}{2(a-3)(a+3)}

Розкриємо дужки в чисельнику.

=3a−9+2a2−2a−6−2a2+182(a−3)(a+3)= \frac{3a-9 + 2a^2 - 2a - 6 - 2a^2 + 18}{2(a-3)(a+3)}

Зведемо подібні доданки.

=a+32(a−3)(a+3)= \frac{a+3}{2(a-3)(a+3)}

Скоротимо дріб на (a+3)(a+3).

=12(a−3)= \frac{1}{2(a-3)}