ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.29
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер.
Умова вправи № 4.29
Доведіть тотожність
$$ \frac{(a-1)(a-2)}{12}-\frac{(a-1)(a-5)}{3}+\frac{(a-5)(a-2)}{4}=1 $$
Розв'язок вправи № 4.29
Короткий розв'язок
$$ \frac{(a-1)(a-2)-4(a-1)(a-5)+3(a-5)(a-2)}{12} = $$
$$ = \frac{a^2-3a+2-4(a^2-6a+5)+3(a^2-7a+10)}{12} = $$
$$ = \frac{a^2-3a+2-4a^2+24a-20+3a^2-21a+30}{12} = \frac{12}{12}=1 $$
Доведено.
Детальний розв'язок з поясненнями
Ключ до розв'язання: для доведення тотожності спростимо її ліву частину, звівши дроби до спільного знаменника, і покажемо, що вона дорівнює правій частині.
Зведемо дроби до спільного знаменника 12:
$$ \frac{(a-1)(a-2)}{12}-\frac{4(a-1)(a-5)}{12}+\frac{3(a-5)(a-2)}{12} $$
Розкриємо дужки в чисельниках:
$$ \frac{a^2-2a-a+2-4(a^2-5a-a+5)+3(a^2-2a-5a+10)}{12} $$
$$ = \frac{a^2-3a+2-4(a^2-6a+5)+3(a^2-7a+10)}{12} $$
$$ = \frac{a^2-3a+2-4a^2+24a-20+3a^2-21a+30}{12} $$
Зведемо подібні доданки в чисельнику:
$$ \frac{(a^2-4a^2+3a^2)+(-3a+24a-21a)+(2-20+30)}{12} = \frac{0+0+12}{12} = 1 $$
Отримали, що $1 = 1$. Тотожність доведено.
