До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.29

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.29

Доведіть тотожність

(a−1)(a−2)12−(a−1)(a−5)3+(a−5)(a−2)4=1 \frac{(a-1)(a-2)}{12}-\frac{(a-1)(a-5)}{3}+\frac{(a-5)(a-2)}{4}=1

Розв'язок вправи № 4.29

Короткий розв'язок

(a−1)(a−2)−4(a−1)(a−5)+3(a−5)(a−2)12= \frac{(a-1)(a-2)-4(a-1)(a-5)+3(a-5)(a-2)}{12} =
=a2−3a+2−4(a2−6a+5)+3(a2−7a+10)12= = \frac{a^2-3a+2-4(a^2-6a+5)+3(a^2-7a+10)}{12} =
=a2−3a+2−4a2+24a−20+3a2−21a+3012=1212=1 = \frac{a^2-3a+2-4a^2+24a-20+3a^2-21a+30}{12} = \frac{12}{12}=1

Доведено.

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: для доведення тотожності спростимо її ліву частину, звівши дроби до спільного знаменника, і покажемо, що вона дорівнює правій частині.

Зведемо дроби до спільного знаменника 12:

(a−1)(a−2)12−4(a−1)(a−5)12+3(a−5)(a−2)12 \frac{(a-1)(a-2)}{12}-\frac{4(a-1)(a-5)}{12}+\frac{3(a-5)(a-2)}{12}

Розкриємо дужки в чисельниках:

a2−2a−a+2−4(a2−5a−a+5)+3(a2−2a−5a+10)12 \frac{a^2-2a-a+2-4(a^2-5a-a+5)+3(a^2-2a-5a+10)}{12}
=a2−3a+2−4(a2−6a+5)+3(a2−7a+10)12 = \frac{a^2-3a+2-4(a^2-6a+5)+3(a^2-7a+10)}{12}
=a2−3a+2−4a2+24a−20+3a2−21a+3012 = \frac{a^2-3a+2-4a^2+24a-20+3a^2-21a+30}{12}

Зведемо подібні доданки в чисельнику:

(a2−4a2+3a2)+(−3a+24a−21a)+(2−20+30)12=0+0+1212=1 \frac{(a^2-4a^2+3a^2)+(-3a+24a-21a)+(2-20+30)}{12} = \frac{0+0+12}{12} = 1

Отримали, що 1=11 = 1. Тотожність доведено.