До змісту

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.34

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2021

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.34

Спростіть вираз:

  1. a+1a2+a+1+a+2a3−1\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{a^3 - 1};
  2. 2aa−3+aa+3+2a29−a2\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} + \frac{2a^2}{9 - a^2};
  3. 4m2+4m+m+84m+16\frac{4}{m^2 + 4m} + \frac{m + 8}{4m + 16};
  4. 23b+6+b2−b−2b2−4−1\frac{2}{3b + 6} + \frac{b^2 - b - 2}{b^2 - 4} - 1.

Розв'язок вправи № 4.34

Короткий розв'язок

1)

a+1a2+a+1+a+2a3−1=(a+1)(a−1)+a+2(a−1)(a2+a+1)\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{a^3 - 1} = \frac{(a+1)(a-1) + a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}
=a2+a+1(a−1)(a2+a+1)=1a−1= \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}

2)

2aa−3+aa+3−2a2a2−9=2a(a+3)+a(a−3)−2a2(a−3)(a+3)\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} - \frac{2a^2}{a^2 - 9} = \frac{2a(a+3) + a(a-3) - 2a^2}{(a-3)(a+3)}
=a2+3a(a−3)(a+3)=a(a+3)(a−3)(a+3)=aa−3= \frac{a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a}{a-3}

3)

4m2+4m+m+84m+16=4⋅4+m(m+8)4m(m+4)\frac{4}{m^2 + 4m} + \frac{m + 8}{4m + 16} = \frac{4 \cdot 4 + m(m+8)}{4m(m+4)}
=16+m2+8m4m(m+4)=(m+4)24m(m+4)=m+44m= \frac{16 + m^2 + 8m}{4m(m+4)} = \frac{(m+4)^2}{4m(m+4)} = \frac{m+4}{4m}

4)

23b+6+b2−b−2b2−4−1=2(b−2)+3(b2−b−2)−3(b2−4)3(b−2)(b+2)\frac{2}{3b + 6} + \frac{b^2 - b - 2}{b^2 - 4} - 1 = \frac{2(b-2) + 3(b^2 - b - 2) - 3(b^2-4)}{3(b-2)(b+2)}
=−b+23(b−2)(b+2)=−(b−2)3(b−2)(b+2)=−13(b+2)= \frac{-b+2}{3(b-2)(b+2)} = \frac{-(b-2)}{3(b-2)(b+2)} = -\frac{1}{3(b+2)}

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Для успішного спрощення цих виразів ключовим є вміння розкладати знаменники на множники. Це часто вимагає винесення спільного множника за дужки або застосування формул скороченого множення, таких як різниця квадратів або різниця кубів.

1) a+1a2+a+1+a+2a3−1\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{a^3 - 1}

Розкладемо знаменник другого дробу за формулою різниці кубів: a3−1=(a−1)(a2+a+1)a^3-1=(a-1)(a^2+a+1).

a+1a2+a+1+a+2(a−1)(a2+a+1)\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{(a-1)(a^2+a+1)}

Зведемо до спільного знаменника (a−1)(a2+a+1)(a-1)(a^2+a+1).

=(a+1)(a−1)+a+2(a−1)(a2+a+1)= \frac{(a+1)(a-1) + a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}

Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки в чисельнику.

=a2−1+a+2a3−1=a2+a+1a3−1= \frac{a^2-1+a+2}{a^3-1} = \frac{a^2+a+1}{a^3-1}

Розкладемо знаменник знову і скоротимо дріб.

=a2+a+1(a−1)(a2+a+1)=1a−1= \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}

2) 2aa−3+aa+3+2a29−a2\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} + \frac{2a^2}{9 - a^2}

Змінимо знак у знаменнику третього дробу: 9−a2=−(a2−9)9-a^2 = -(a^2-9).

2aa−3+aa+3−2a2a2−9\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} - \frac{2a^2}{a^2 - 9}

Розкладемо a2−9a^2-9 на множники: (a−3)(a+3)(a-3)(a+3) і зведемо до спільного знаменника.

=2a(a+3)+a(a−3)−2a2(a−3)(a+3)= \frac{2a(a+3) + a(a-3) - 2a^2}{(a-3)(a+3)}

Розкриємо дужки в чисельнику.

=2a2+6a+a2−3a−2a2(a−3)(a+3)= \frac{2a^2+6a+a^2-3a-2a^2}{(a-3)(a+3)}

Зведемо подібні доданки і винесемо спільний множник.

=a2+3a(a−3)(a+3)=a(a+3)(a−3)(a+3)= \frac{a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}

Скоротимо дріб.

=aa−3= \frac{a}{a-3}

3) 4m2+4m+m+84m+16\frac{4}{m^2 + 4m} + \frac{m + 8}{4m + 16}

Винесемо спільні множники в знаменниках.

4m(m+4)+m+84(m+4)\frac{4}{m(m+4)} + \frac{m + 8}{4(m + 4)}

Спільний знаменник — 4m(m+4)4m(m+4).

=4⋅4+m(m+8)4m(m+4)=16+m2+8m4m(m+4)= \frac{4 \cdot 4 + m(m+8)}{4m(m+4)} = \frac{16 + m^2 + 8m}{4m(m+4)}

Згорнемо чисельник за формулою квадрата суми: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2.

=(m+4)24m(m+4)= \frac{(m+4)^2}{4m(m+4)}

Скоротимо дріб.

=m+44m= \frac{m+4}{4m}

4) 23b+6+b2−b−2b2−4−1\frac{2}{3b + 6} + \frac{b^2 - b - 2}{b^2 - 4} - 1

Розкладемо знаменники на множники.

23(b+2)+b2−b−2(b−2)(b+2)−1\frac{2}{3(b+2)} + \frac{b^2 - b - 2}{(b-2)(b+2)} - 1

Спільний знаменник — 3(b−2)(b+2)3(b-2)(b+2).

=2(b−2)+3(b2−b−2)−3(b2−4)3(b−2)(b+2)= \frac{2(b-2) + 3(b^2 - b - 2) - 3(b^2-4)}{3(b-2)(b+2)}

Розкриємо дужки в чисельнику.

=2b−4+3b2−3b−6−3b2+123(b−2)(b+2)= \frac{2b-4 + 3b^2 - 3b - 6 - 3b^2 + 12}{3(b-2)(b+2)}

Зведемо подібні доданки.

=−b+23(b−2)(b+2)=−(b−2)3(b−2)(b+2)= \frac{-b+2}{3(b-2)(b+2)} = \frac{-(b-2)}{3(b-2)(b+2)}

Скоротимо дріб.

=−13(b+2)= -\frac{1}{3(b+2)}