Відкрити меню

ГДЗ з алгебри 8 клас Істер, вправа №4.34

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2021

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер.

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова вправи № 4.34

Спростіть вираз:

  1. $\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{a^3 - 1}$;
  2. $\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} + \frac{2a^2}{9 - a^2}$;
  3. $\frac{4}{m^2 + 4m} + \frac{m + 8}{4m + 16}$;
  4. $\frac{2}{3b + 6} + \frac{b^2 - b - 2}{b^2 - 4} - 1$.

Розв'язок вправи № 4.34

Короткий розв'язок

1)

$$\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{a^3 - 1} = \frac{(a+1)(a-1) + a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}$$
$$= \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}$$

2)

$$\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} - \frac{2a^2}{a^2 - 9} = \frac{2a(a+3) + a(a-3) - 2a^2}{(a-3)(a+3)}$$
$$= \frac{a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a}{a-3}$$

3)

$$\frac{4}{m^2 + 4m} + \frac{m + 8}{4m + 16} = \frac{4 \cdot 4 + m(m+8)}{4m(m+4)}$$
$$= \frac{16 + m^2 + 8m}{4m(m+4)} = \frac{(m+4)^2}{4m(m+4)} = \frac{m+4}{4m}$$

4)

$$\frac{2}{3b + 6} + \frac{b^2 - b - 2}{b^2 - 4} - 1 = \frac{2(b-2) + 3(b^2 - b - 2) - 3(b^2-4)}{3(b-2)(b+2)}$$
$$= \frac{-b+2}{3(b-2)(b+2)} = \frac{-(b-2)}{3(b-2)(b+2)} = -\frac{1}{3(b+2)}$$

Детальний розв'язок з поясненнями

Ключ до розв'язання: Для успішного спрощення цих виразів ключовим є вміння розкладати знаменники на множники. Це часто вимагає винесення спільного множника за дужки або застосування формул скороченого множення, таких як різниця квадратів або різниця кубів.

1) $\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{a^3 - 1}$

Розкладемо знаменник другого дробу за формулою різниці кубів: $a^3-1=(a-1)(a^2+a+1)$.

$$\frac{a + 1}{a^2 + a + 1} + \frac{a + 2}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Зведемо до спільного знаменника $(a-1)(a^2+a+1)$.

$$= \frac{(a+1)(a-1) + a+2}{(a-1)(a^2+a+1)}$$

Розкриємо дужки і зведемо подібні доданки в чисельнику.

$$= \frac{a^2-1+a+2}{a^3-1} = \frac{a^2+a+1}{a^3-1}$$

Розкладемо знаменник знову і скоротимо дріб.

$$= \frac{a^2+a+1}{(a-1)(a^2+a+1)} = \frac{1}{a-1}$$

2) $\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} + \frac{2a^2}{9 - a^2}$

Змінимо знак у знаменнику третього дробу: $9-a^2 = -(a^2-9)$.

$$\frac{2a}{a - 3} + \frac{a}{a + 3} - \frac{2a^2}{a^2 - 9}$$

Розкладемо $a^2-9$ на множники: $(a-3)(a+3)$ і зведемо до спільного знаменника.

$$= \frac{2a(a+3) + a(a-3) - 2a^2}{(a-3)(a+3)}$$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$$= \frac{2a^2+6a+a^2-3a-2a^2}{(a-3)(a+3)}$$

Зведемо подібні доданки і винесемо спільний множник.

$$= \frac{a^2+3a}{(a-3)(a+3)} = \frac{a(a+3)}{(a-3)(a+3)}$$

Скоротимо дріб.

$$= \frac{a}{a-3}$$

3) $\frac{4}{m^2 + 4m} + \frac{m + 8}{4m + 16}$

Винесемо спільні множники в знаменниках.

$$\frac{4}{m(m+4)} + \frac{m + 8}{4(m + 4)}$$

Спільний знаменник — $4m(m+4)$.

$$= \frac{4 \cdot 4 + m(m+8)}{4m(m+4)} = \frac{16 + m^2 + 8m}{4m(m+4)}$$

Згорнемо чисельник за формулою квадрата суми: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$.

$$= \frac{(m+4)^2}{4m(m+4)}$$

Скоротимо дріб.

$$= \frac{m+4}{4m}$$

4) $\frac{2}{3b + 6} + \frac{b^2 - b - 2}{b^2 - 4} - 1$

Розкладемо знаменники на множники.

$$\frac{2}{3(b+2)} + \frac{b^2 - b - 2}{(b-2)(b+2)} - 1$$

Спільний знаменник — $3(b-2)(b+2)$.

$$= \frac{2(b-2) + 3(b^2 - b - 2) - 3(b^2-4)}{3(b-2)(b+2)}$$

Розкриємо дужки в чисельнику.

$$= \frac{2b-4 + 3b^2 - 3b - 6 - 3b^2 + 12}{3(b-2)(b+2)}$$

Зведемо подібні доданки.

$$= \frac{-b+2}{3(b-2)(b+2)} = \frac{-(b-2)}{3(b-2)(b+2)}$$

Скоротимо дріб.

$$= -\frac{1}{3(b+2)}$$
реклама

Дивись гдз з предметів для 8 класу