ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.37
Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.
Автор: О. С. Істер (2025).
Умова
Перетворіть вираз на дріб:
1) $\frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2} + \frac{a^2 + 2ab + 4b^2}{(a + 2b)^2}$;
2) $\frac{2}{(a - 3)^2} - \frac{4}{a^2 - 9} + \frac{2}{(a + 3)^2}$.
Короткий розв'язок
Детальний розв'язок
Ключ до розв'язання: Для перетворення виразів на дріб необхідно звести доданки до спільного знаменника. Для цього спочатку розкладаємо знаменники на множники, використовуючи формули скороченого множення. Потім знаходимо спільний знаменник, обчислюємо додаткові множники та виконуємо додавання і віднімання дробів.
1) Розглянемо перший вираз: $\frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{a^2 - 4b^2} + \frac{a^2 + 2ab + 4b^2}{(a + 2b)^2}$.
Розкладемо на множники знаменник першого дробу, використовуючи формулу різниці квадратів $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.
Спільним знаменником для дробів буде вираз $(a-2b)(a+2b)^2$. Знайдемо додаткові множники та зведемо дроби до спільного знаменника.
У чисельнику ми бачимо формули суми та різниці кубів: $(x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3$ та $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.
Підставимо ці результати в чисельник та спростимо його.
2) Розглянемо другий вираз: $\frac{2}{(a - 3)^2} - \frac{4}{a^2 - 9} + \frac{2}{(a + 3)^2}$.
Розкладемо на множники знаменник середнього дробу: $a^2-9=(a-3)(a+3)$. Спільним знаменником буде $(a-3)^2(a+3)^2 = ((a-3)(a+3))^2 = (a^2-9)^2$.
Зведемо дроби до спільного знаменника.
Розкриємо дужки в чисельнику та зведемо подібні доданки.
Відповідь: 1) $\frac{2a^3}{(a-2b)(a+2b)^2}$; 2) $\frac{72}{(a^2-9)^2}$.
