ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.43

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть значення виразу

$\frac{3a + 0,5b}{9a^2 - 1,5ab} - \frac{12a}{9a^2 - 0,25b^2} - \frac{3a - 0,5b}{9a^2 + 1,5ab}$,

якщо $a = \frac{1}{6}$, $b = -1\frac{4}{9}$.

Відтак дізнаєтеся, у якому віці українець Руслан Пономарьов став наймолодшим в історії чемпіоном світу із шахів.

Короткий розв'язок

$$\frac{3a+0,5b}{3a(3a-0,5b)} - \frac{12a}{(3a-0,5b)(3a+0,5b)} - \frac{3a-0,5b}{3a(3a+0,5b)} =$$

$$= \frac{(3a+0,5b)^2 - 12a(3a) - (3a-0,5b)^2}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} =$$

$$= \frac{(9a^2+3ab+0,25b^2) - 36a^2 - (9a^2-3ab+0,25b^2)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =$$

$$= \frac{6ab-36a^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} =$$

$$= \frac{6a(b-6a)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =$$

$$= \frac{2(b-6a)}{9a^2-0,25b^2}$$

Якщо $a=\frac{1}{6}$ і $b=-\frac{13}{9}$, то:

$$\frac{2(-\frac{13}{9}-6 \cdot \frac{1}{6})}{9(\frac{1}{6})^2-0,25(-\frac{13}{9})^2} =$$

$$= \frac{2(-\frac{13}{9}-1)}{9 \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{4} \cdot \frac{169}{81}} =$$

$$= \frac{2(-\frac{22}{9})}{\frac{1}{4} - \frac{169}{324}} =$$

$$= \frac{-\frac{44}{9}}{-\frac{88}{324}} =$$

$$= 18$$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Спочатку варто спростити громіздкий алгебраїчний вираз і лише потім підставляти значення змінних. Для спрощення розкладемо знаменники на множники, зведемо дроби до спільного знаменника, а потім виконаємо дії в чисельнику. Це ефективніше, ніж одразу працювати з дробовими числами. Для розкладання знаменників знадобляться навички винесення спільного множника за дужки та формула різниці квадратів.

1. Спростимо вираз. Розкладемо знаменники на множники:

$$9a^2 - 1,5ab = 3a(3a - 0,5b)$$

$$9a^2 - 0,25b^2 = (3a)^2 - (0,5b)^2 =$$

$$= (3a - 0,5b)(3a + 0,5b)$$

$$9a^2 + 1,5ab = 3a(3a + 0,5b)$$

Спільний знаменник: $3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)$. Зведемо дроби до спільного знаменника.

$$\frac{(3a+0,5b)(3a+0,5b)}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} -$$

$$- \frac{12a \cdot 3a}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} - \frac{(3a-0,5b)(3a-0,5b)}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} =$$

Запишемо все під спільним знаменником та розкриємо дужки в чисельнику.

$$= \frac{(3a+0,5b)^2 - 36a^2 - (3a-0,5b)^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} =$$

$$= \frac{(9a^2+3ab+0,25b^2) - 36a^2 - (9a^2-3ab+0,25b^2)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =$$

Зведемо подібні доданки в чисельнику.