До змісту

ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.43

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

Знайдіть значення виразу

3a+0,5b9a2−1,5ab−12a9a2−0,25b2−3a−0,5b9a2+1,5ab\frac{3a + 0,5b}{9a^2 - 1,5ab} - \frac{12a}{9a^2 - 0,25b^2} - \frac{3a - 0,5b}{9a^2 + 1,5ab},

якщо a=16a = \frac{1}{6}, b=−149b = -1\frac{4}{9}.

Відтак дізнаєтеся, у якому віці українець Руслан Пономарьов став наймолодшим в історії чемпіоном світу із шахів.

Короткий розв'язок

3a+0,5b3a(3a−0,5b)−12a(3a−0,5b)(3a+0,5b)−3a−0,5b3a(3a+0,5b)=\frac{3a+0,5b}{3a(3a-0,5b)} - \frac{12a}{(3a-0,5b)(3a+0,5b)} - \frac{3a-0,5b}{3a(3a+0,5b)} =
=(3a+0,5b)2−12a(3a)−(3a−0,5b)23a(3a−0,5b)(3a+0,5b)== \frac{(3a+0,5b)^2 - 12a(3a) - (3a-0,5b)^2}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} =
=(9a2+3ab+0,25b2)−36a2−(9a2−3ab+0,25b2)3a(9a2−0,25b2)== \frac{(9a^2+3ab+0,25b^2) - 36a^2 - (9a^2-3ab+0,25b^2)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =
=6ab−36a23a(9a2−0,25b2)== \frac{6ab-36a^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} =
=6a(b−6a)3a(9a2−0,25b2)== \frac{6a(b-6a)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =
=2(b−6a)9a2−0,25b2= \frac{2(b-6a)}{9a^2-0,25b^2}

Якщо a=16a=\frac{1}{6} і b=−139b=-\frac{13}{9}, то:

2(−139−6⋅16)9(16)2−0,25(−139)2=\frac{2(-\frac{13}{9}-6 \cdot \frac{1}{6})}{9(\frac{1}{6})^2-0,25(-\frac{13}{9})^2} =
=2(−139−1)9⋅136−14⋅16981== \frac{2(-\frac{13}{9}-1)}{9 \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{4} \cdot \frac{169}{81}} =
=2(−229)14−169324== \frac{2(-\frac{22}{9})}{\frac{1}{4} - \frac{169}{324}} =
=−449−88324== \frac{-\frac{44}{9}}{-\frac{88}{324}} =
=18= 18

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Спочатку варто спростити громіздкий алгебраїчний вираз і лише потім підставляти значення змінних. Для спрощення розкладемо знаменники на множники, зведемо дроби до спільного знаменника, а потім виконаємо дії в чисельнику. Це ефективніше, ніж одразу працювати з дробовими числами. Для розкладання знаменників знадобляться навички винесення спільного множника за дужки та формула різниці квадратів.

1. Спростимо вираз. Розкладемо знаменники на множники:

9a2−1,5ab=3a(3a−0,5b)9a^2 - 1,5ab = 3a(3a - 0,5b)
9a2−0,25b2=(3a)2−(0,5b)2=9a^2 - 0,25b^2 = (3a)^2 - (0,5b)^2 =
=(3a−0,5b)(3a+0,5b)= (3a - 0,5b)(3a + 0,5b)
9a2+1,5ab=3a(3a+0,5b)9a^2 + 1,5ab = 3a(3a + 0,5b)

Спільний знаменник: 3a(3a−0,5b)(3a+0,5b)3a(3a-0,5b)(3a+0,5b). Зведемо дроби до спільного знаменника.

(3a+0,5b)(3a+0,5b)3a(3a−0,5b)(3a+0,5b)−\frac{(3a+0,5b)(3a+0,5b)}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} -
−12a⋅3a3a(3a−0,5b)(3a+0,5b)−(3a−0,5b)(3a−0,5b)3a(3a−0,5b)(3a+0,5b)=- \frac{12a \cdot 3a}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} - \frac{(3a-0,5b)(3a-0,5b)}{3a(3a-0,5b)(3a+0,5b)} =

Запишемо все під спільним знаменником та розкриємо дужки в чисельнику.

=(3a+0,5b)2−36a2−(3a−0,5b)23a(9a2−0,25b2)== \frac{(3a+0,5b)^2 - 36a^2 - (3a-0,5b)^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} =
=(9a2+3ab+0,25b2)−36a2−(9a2−3ab+0,25b2)3a(9a2−0,25b2)== \frac{(9a^2+3ab+0,25b^2) - 36a^2 - (9a^2-3ab+0,25b^2)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =

Зведемо подібні доданки в чисельнику.

=9a2+3ab+0,25b2−36a2−9a2+3ab−0,25b23a(9a2−0,25b2)== \frac{9a^2+3ab+0,25b^2 - 36a^2 - 9a^2+3ab-0,25b^2}{3a(9a^2-0,25b^2)} =
=6ab−36a23a(9a2−0,25b2)= \frac{6ab-36a^2}{3a(9a^2-0,25b^2)}

Винесемо спільний множник 6a6a в чисельнику і скоротимо дріб.

=6a(b−6a)3a(9a2−0,25b2)== \frac{6a(b-6a)}{3a(9a^2-0,25b^2)} =
=2(b−6a)9a2−0,25b2= \frac{2(b-6a)}{9a^2-0,25b^2}

2. Тепер підставимо значення a=16a = \frac{1}{6} та b=−149=−139b = -1\frac{4}{9} = -\frac{13}{9} у спрощений вираз.

Обчислимо чисельник:

2(b−6a)=2(−139−6⋅16)=2(b-6a) = 2(-\frac{13}{9} - 6 \cdot \frac{1}{6}) =
=2(−139−1)== 2(-\frac{13}{9} - 1) =
=2(−139−99)== 2(-\frac{13}{9} - \frac{9}{9}) =
=2(−229)=−449= 2(-\frac{22}{9}) = -\frac{44}{9}

Обчислимо знаменник:

9a2−0,25b2=9(16)2−14(−139)2=9a^2-0,25b^2 = 9(\frac{1}{6})^2 - \frac{1}{4}(-\frac{13}{9})^2 =
=9⋅136−14⋅16981== 9 \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{4} \cdot \frac{169}{81} =
=14−169324== \frac{1}{4} - \frac{169}{324} =
=81324−169324== \frac{81}{324} - \frac{169}{324} =
=−88324=−2281= -\frac{88}{324} = -\frac{22}{81}

Знайдемо значення виразу:

−449−2281=449⋅8122=\frac{-\frac{44}{9}}{-\frac{22}{81}} = \frac{44}{9} \cdot \frac{81}{22} =
=44⋅819⋅22== \frac{44 \cdot 81}{9 \cdot 22} =
=2⋅9=18= 2 \cdot 9 = 18

Значення виразу дорівнює 18.

Відповідь: 18. Отже, Руслан Пономарьов став чемпіоном світу із шахів у 18 років.