ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.39

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

→ Переглянути зміст до цього ГДЗ ←

Умова

За якого значення $a$ вираз $2 + \frac{a}{x-4}$ тотожно дорівнює дробу $\frac{2x}{x-4}$?

Короткий розв'язок

$$ 2 + \frac{a}{x-4} = \frac{2(x-4)+a}{x-4} = \frac{2x-8+a}{x-4} $$

$$ \frac{2x-8+a}{x-4} = \frac{2x}{x-4} $$

$$ 2x-8+a = 2x \Rightarrow -8+a = 0 \Rightarrow a=8 $$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб знайти значення $a$, при якому вирази є тотожно рівними, необхідно перетворити один з виразів так, щоб він мав такий самий вигляд, як інший. Ми зведемо вираз $2 + \frac{a}{x-4}$ до спільного знаменника, а потім прирівняємо чисельники отриманого дробу та дробу $\frac{2x}{x-4}$.

Перетворимо ліву частину рівності, звівши її до спільного знаменника $x-4$.

$$ 2 + \frac{a}{x-4} = \frac{2(x-4)}{x-4} + \frac{a}{x-4} = $$

$$ = \frac{2(x-4)+a}{x-4} = \frac{2x-8+a}{x-4} $$

Тепер прирівняємо отриманий вираз до правої частини рівності.

$$ \frac{2x-8+a}{x-4} = \frac{2x}{x-4} $$

Два дроби з однаковими знаменниками рівні тоді, коли рівні їхні чисельники. Отже, можемо прирівняти чисельники.

$$ 2x - 8 + a = 2x $$

Віднімемо $2x$ від обох частин рівняння.

$$ -8 + a = 0 $$

Звідси знаходимо $a$.

$$ a = 8 $$

Відповідь: Вираз тотожно дорівнює дробу за умови, що $a=8$.