ГДЗ Алгебра 8 клас Істер - Розв'язання вправи № 4.40

Обкладинка книги ГДЗ Алгебра 8 клас Істер 2025

Розв'язання до підручника «Алгебра» для 8 класу.

Автор: О. С. Істер (2025).

Умова

Доведіть, що значення виразу $\frac{a^3+3a}{a+2} - \frac{3a^2-14a+16}{a^2-4} + 2a$ для всіх допустимих значень змінної є додатним.

Короткий розв'язок

$$ \frac{(a^3+3a)(a-2) - (3a^2-14a+16) + 2a(a^2-4)}{a^2-4} = $$

$$ = \frac{a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 6a - 3a^2 + 14a - 16 + 2a^3 - 8a}{a^2-4} = $$

$$ = \frac{a^4 - 16}{a^2 - 4} = \frac{(a^2-4)(a^2+4)}{a^2-4} = a^2+4 $$

$$ a^2 \ge 0 \Rightarrow a^2+4 > 0 $$

Детальний розв'язок

Ключ до розв'язання: Щоб довести, що значення виразу є додатним, спершу потрібно спростити його. Для цього зведемо всі доданки до спільного знаменника $a^2-4 = (a-2)(a+2)$. Після спрощення чисельника та скорочення дробу, ми проаналізуємо отриманий вираз.

Спростимо заданий вираз. Спільний знаменник: $a^2-4$.

$$ \frac{a^3+3a}{a+2} - \frac{3a^2-14a+16}{a^2-4} + 2a = $$

$$ = \frac{(a^3+3a)(a-2)}{ (a+2)(a-2)} - \frac{3a^2-14a+16}{a^2-4} + \frac{2a(a^2-4)}{a^2-4} $$

Запишемо все під спільним знаменником і розкриємо дужки в чисельнику.

$$ = \frac{(a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 6a) - (3a^2-14a+16) + (2a^3 - 8a)}{a^2-4} = $$

$$ = \frac{a^4 - 2a^3 + 3a^2 - 6a - 3a^2 + 14a - 16 + 2a^3 - 8a}{a^2-4} $$

Зведемо подібні доданки в чисельнику.

$$ = \frac{a^4 + (-2a^3+2a^3) + (3a^2-3a^2) + (-6a+14a-8a) - 16}{a^2-4} = $$

$$ = \frac{a^4 - 16}{a^2 - 4} $$

Розкладемо чисельник на множники за формулою різниці квадратів.

$$ = \frac{(a^2-4)(a^2+4)}{a^2-4} = a^2+4 $$

Ми спростили вираз до $a^2+4$. Тепер проаналізуємо його значення. Квадрат будь-якого дійсного числа ($a^2$) є невід'ємним, тобто $a^2 \ge 0$.

Якщо до невід'ємного числа додати 4, результат завжди буде додатним:

$$ a^2+4 > 0 $$

Допустимими значеннями змінної є всі числа, крім $a = 2$ та $a = -2$, але це не впливає на те, що вираз $a^2+4$ завжди є додатним. Отже, доведено, що значення виразу є додатним для всіх допустимих значень $a$.

Відповідь: Доведено.